高考数学总复习(一轮)(人教A)教学课件第七章　立体几何与空间向量第6节　利用空间向量证明平行和垂直.pptx

[课程标准要求]

理解直线的方向向量及平面的法向量,能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.;积累·必备知识;1.直线的方向向量和平面的法向量

(1)直线的方向向量:如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合,则称此向量a为直线l的方向向量.;2.空间位置关系的向量表示;1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).

(1)直线的方向向量是唯一确定的,平面的单位法向量也是唯一确定的.

()

(2)若两直线的方向向量不平行,则两直线不平行.()

(3)若空间向量a平行于平面α,则a所在直线与平面α平行.()

(4)若两平面的法向量平行,则两平面平行,若两平面的法向量垂直,则两平面垂直.();√;3.直线l的方向向量a=(1,2,-1),平面α的一个法向量m=(-2,-4,k),若l⊥α,则实数k=.?;4.(选择性必修第一册P33练习T1改编)设u,v分别是平面α,β的法向量,u=(-2,2,5),当v=(3,-2,2)时,α与β的位置关系为;

当v=(4,-4,-10)时,α与β的位置关系为.?;02;考点一平面的法向量、直线的方向向量及其应用;解析:(1)设正方体的棱长为2,

则A(2,0,0),E(2,2,1),F(1,0,2),;(2)在空间直角坐标系内,平面α经过三点A(1,0,2),B(0,1,0),

C(-2,1,1),向量n=(1,λ,μ)是平面α的一个法向量,则λ+μ等于()

A.-7 B.-5 C.5 D.7;(3)已知直线l的一个方向向量m=(2,-1,3),且直线l过点A(0,a,3)和B(-1,2,b)两点,则a+b等于()

A.0 B.1 C. D.3;(1)直线的方向向量的确定:若l是空间的一条直线,A,B是l上任意两点,则及与平行的非零向量均为直线l的方向向量.

(2)平面的法向量的确定:设a,b是平面α内两个不共线向量,n为平面α的一个法向量,则可用方程组求出平面α的一个法向量n.;[针对训练](1)(多选题)在如图所示的空间直角坐标系中,ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体,给出下列结论中,正确的是()

A.直线BD1的一个方向向量为(-2,2,2)

B.直线BD1的一个方向向量为(2,2,2)

C.平面B1CD1的一个法向量为(1,1,1)

D.平面B1CD的一个法向量为(1,1,1);(2)直线l的方向向量是s=(1,1,1),平面α的法向量n=(1,x2-x,-x),若直线l∥α,则x=.?;考点二利用向量证明平行问题;解:记AC中点为M,连接DM,BM,

因为△ACD为正三角形,AC=4,

则DM⊥AC,且DM=.

因为平面ACD⊥平面ABC,平面ACD∩平面ABC=AC,DM?平面ACD,

所以DM⊥平面ABC,所以DM⊥BM,又△ABC为正三角形,所以BM⊥AC,所以BM=,;(1)证明线线平行的方法

①向量法:设直线l1,l2的方向向量分别是a,b,则要证明l1∥l2,只需证明a∥b,即a=kb(k∈R).

②几何法:利用线面平行的性质定理和面面平行的性质定理求解.

(2)证明线面平行的方法

①向量法:设直线l的方向向量是a,平面α的法向量是u,则要证明l∥α,只需证明a⊥u,即a·u=0,注意说明直线l?平面α.;②几何法:利用线面平行的判定定理求解.

(3)证明面面平行的方法

①向量法:求出平面α,β的法向量u,v,则要证明α∥β,只需证明u∥v.

②几何法:利用面面平行的判定定理求解.;[针对训练]如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,O是B1D1的中点,求证:B1C∥平面ODC1.;[例3](2024·广东深圳模拟)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中点.

求证:平面AD1F⊥平面ADE.;取y=1,得n=(0,1,-2),

设平面AD1F的法向量m=(a,b,c),;(1)证明线线垂直的方法

①向量法:证明两条直线的方向向量a,b相互垂直,只需证明a·b=0即可.

②几何法:利用线面垂直的性质求解.

(2)证明线面垂直的方法

①向量法:分别计算直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量的数量积,由数量积为0及线面垂直的判定定理即可得证.;②几何法:由线面垂直的判定定理及面面垂直的性质定理求解.

(3)证明面面垂直的方法

①向量法:证明两平面的法向量垂直或证明一个平面的法向量平行于另一个平面.

②几何法:利用面面垂直的判定定理求解.;[针对训练]如图,已知直三棱柱ABC-FGE,AC=BC=4,AC⊥BC,O为BC的中点,D为侧棱