2025年九年级中考数学总复习29 微专题 与圆有关的位置关系.docx

第

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微专题29与圆有关的位置关系

考点精讲

构建知识体系

考点梳理

1.点与圆的位置关系

点在圆外

d＝OA①r

点在圆上

d＝OB②r

点在圆内

d＝OC③r

2.直线与圆的位置关系(2024年首次涉及考查)

位置关系

相离

相切

相交

d与r的

关系

d④r

d⑤r

d⑥r

交点的

个数

没有公共点

有且只有一个公共点

有两个公共点

示意图

3.切线的性质与判定(6年6考)

(1)性质定理：圆的切线⑦于过切点的半径(或直径)

(2)性质：①切线和圆只有一个公共点；②圆心到切线的距离等于圆的半径；③切线垂直于过切点的半径；④经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；⑤经过切点且垂直于切线的直线必过圆心

(3)判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

(4)判定方法：①直线与圆公共点已知：连半径，证垂直；②直线与圆公共点未知：作垂直，证半径

4.切线长与切线长定理

图示

切线长

在经过圆外一点的圆的切线上，这点与⑧之间的线段的长度，叫做这点到圆的切线长

切线长定理

从圆外一点可以引圆的⑨条切线，它们的切线长⑩，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.(探索并证明切线长定理*选学)

5.三角形的内切圆

(1)定义：与三角形各边都相切的圆

(2)圆心O：内心(三角形的内切圆圆心或三角形三条?的交点)

(3)性质：三角形的内心到三角形?的距离相等

(4)角度关系：如图③，图④，∠BOC＝90°＋12∠

【知识拓展】

任意三角形的内切圆

直角三角形的内切圆

图③

图④

利用等面积法可得：r＝2

利用等面积法可得：r＝ab

利用切线长定理可得：r＝a

练考点

1.已知☉O的半径为3，P为平面内一点，OP＝4，则点P在☉O.(填“内”“上”或“外”)

2.已知圆的半径为3，圆心到某直线的距离为2，则此直线与圆的位置关系为.(填“相交”“相切”或“相离”)

3.如图，AC是☉O的直径.

(1)若BC是☉O的切线，则∠ACB＝°；

(2)若AB＝5，BC＝4，AC＝3，则BC与☉O.(填“相交”“相切”或“相离”)

第3题图

4.如图，PA，PB是☉O的切线，A，B为切点，连接AB，OA，OB，PO，PO交☉O于点C，交AB于点D，∠OAB＝30°.

第4题图

(1)∠APB的度数为；

(2)若OA＝4，则OP的长为.

5.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则△ABC的内切圆半径r＝.

第5题图

6.如图，△ABC的外接圆半径为5，其圆心O恰好在中线CD上，若AB＝CD，则△ABC的面积为.

第6题图

高频考点

考点与切线有关的证明及计算(6年6考)

一、切线的判定(6年4考)

方法解读

1.利用平行证垂直：

当需要证明的切线有一条垂线时，可证明过切点的半径与这条垂线平行.

2.利用等角转换证垂直：

题干中直接给出角度关系或给出切线与弦的夹角等于某个圆周角时，常通过等角代换来证明.

3.利用三角形全等证垂直：

常在“共点双切线型”图形中运用，通过连接圆心与两条切线的交点构造全等三角形来证得垂直.

4.作垂直，证半径：

过圆心作直线的垂线段，证明垂线段长等于半径.

方法一连半径、证垂直

例1(利用平行证垂直)核心设问如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的☉O交BC于点E，过点E作EF⊥AB于点F.求证：EF是☉O的切线.[2019广东24(2)题考查]

例1题图

例2(利用等角转换证垂直)如图，AB是☉O的直径，C是圆上一点，过点C的直线CD交BA延长线于点D，且∠DCA＝∠B，求证：CD是☉O的切线.

例2题图

例3(利用三角形全等证垂直)核心设问如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径作☉O，交AB于点D，点E为AC上一点，连接DE.若DE＝CE，求证：DE是☉O的切线.[2020广东22(1)题考查]

例3题图

方法二作垂直、证半径

例4核心设问如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC上一点O为圆心，OC长为半径作☉O，连接BO，若BO平分∠ABC，求证：AB是☉O的切线.[2024广东17(2)题考查]

例4题图

二、切线性质的相关证明及计算(6年2考)

方法解读

1.证明角相等的方法：

(1)根据直角三角形中两锐角互余，进行等量代换找到对应的角；

(2)根据平行线与等腰三角形的性质，进行等量代换找到相对应的角；

(3)通过证明两个三角形全等，得到对应的角相等.

2.求线段长的方法：

(1)若题干中