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第
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微专题35几何图形的折叠问题
一阶基础技能
1.折叠问题常见的类型有:
2.与折叠有关的计算常用性质
(1)折叠问题的本质是全等变换,折叠前的部分与折叠后的部分是全等图形.
①线段相等:CD=,BC=;
②角度相等:∠1=,∠3=;
③全等关系:△BCD≌.
(2)折痕可看作垂直平分线(对应的两点之间的连线被折痕垂直平分,即BD垂直平分CC);
(3)折痕可看作角平分线.
二阶方法训练
方法解读
1.利用折叠出现的直角三角形求解
情形:折叠中顶点落在边上得到直角三角形
结论:在Rt△CFB中,利用勾股定理,得x2=a2+(b-x)2
方法总结:由于矩形的四个内角均为直角,故折叠后易出现与设问相关联的直角三角形,可利用勾股定理或三角函数列方程求解
方法一利用折叠出现的直角三角形求解(2020.9)
例1如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=9,点E,F分别在边AD,BC上,将四边形ABFE沿EF折叠,点B的对应点B恰好落在CD边的中点处,则BF的长为.
例1题图
变式1如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,AB=10,D,E分别是AB,BC上的点.将△ACE沿AE折叠,使点C的对应点落在点D处,则△BDE的面积为.
变式1题图
方法解读
2.利用折叠出现的等腰三角形求解
情形:折叠中利用角平分线(折痕)性质得到等腰三角形
结论:△BFD为等腰三角形,DF=BF=x,AF=b-x
方法总结:当折痕过特殊四边形对边或对角线时,可利用角平分线(折痕)与平行线(特殊四边形的对边)的性质得到等腰三角形,再利用等腰三角形的性质求解
方法二利用折叠出现的等腰三角形求解
例2如图,在矩形ABCD中,CD=4,BC=8,将△BCD沿BD翻折得到△BED,BE交AD于点F,则AF=.
例2题图
变式2如图,已知矩形纸片的宽为2,将矩形纸片沿MN折叠,得到重合部分△AMN,若∠MAN=45°,则△AMN的面积为.
变式2题图
方法解读
3.利用折叠出现的全等、相似求解
情形:折叠中常出现的全等、相似模型
(1)如图①,正8字、斜A字模型
图①
结论:①“正8字”:△AFE∽△CFD;②“斜A字”:△AFE∽△ABC
(2)如图②,一线三垂直模型
图②
结论:①△BEF∽△CFD;
②△AED≌△FED
方法总结:结合折叠的性质,找出与设问相关联的全等三角形或相似三角形,再利用全等、相似三角形的性质求解
方法三利用折叠出现的全等、相似求解[6年2考:2024.23(3),2021.23]
例3如图是一张矩形纸片,点E在AB边上,把△BCE沿直线CE折叠,使点B落在对角线AC上的点F处,连接DF.若点E,F,D在同一条直线上,AE=2.
(1)DF=;
(2)BE=.
例3题图
例4如图,E是矩形ABCD中CD边上一点,将△BCE沿BE折叠得到△BFE,点C的对应点F恰好落在AD上.若sin∠DFE=23,则tan∠EBC的值为
例4题图
变式3(2024河南)如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的边AB在x轴上,点A的坐标为(-2,0),点E在边CD上.将△BCE沿BE折叠,点C落在点F处.若点F的坐标为(0,6),则点E的坐标为.
变式3题图
三阶综合应用
1.(2020广东9题3分)如图,在正方形ABCD中,AB=3,点E,F分别在边AB,CD上,∠EFD=60°.若将四边形EBCF沿EF折叠,点B恰好落在AD边上,则BE的长度为()
A.1 B.2 C.3 D.2
第1题图
2.(2024佛山二模)在如图所示的矩形ABCD中,M为CD中点,将△MBC沿BM翻折至△MBE,若∠AME=15°,则∠ABE=.
第2题图
3.如图,在矩形ABCD中,AB>AD,把矩形沿对角线AC所在直线折叠,使点B落在点E处,AE交CD于点F,连接DE.
(1)求证:△ADE≌△CED;
(2)求证:△DEF是等腰三角形.
第3题图
4.(2021广东23题8分)如图,边长为1的正方形ABCD中,点E为AD的中点.连接BE,将△ABE沿BE折叠得到△FBE,BF交AC于点G,求CG的长.
第4题图
一阶基础技能
①CD,BC;②∠2,∠4;③△BCD
二阶综合应用
例15【解析】∵AB=6,且B是CD边的中点,∴BC=12CD=12AB=3,由折叠可知,BF=BF,设BF=BF=x,则CF=9-x.在Rt△CFB中,∵BF2=CF2+BC2,∴x2=(9-x)
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