专题9.6 正方形的性质与判定【十大题型】（举一反三）（苏科版）（解析版）.pdfVIP

专题9.6正方形的性质与判定【十大题型】

【苏科版】

【题型1正方形的性质（求角的度数）】1

【题型2正方形的性质（求线段的长度）】6

【题型3正方形的性质（求面积、周长）】11

【题型4正方形的性质（探究数量关系）】16

【题型5判定正方形成立的条件】25

【题型6正方形判定的证明】30

【题型7正方形的判定与性质综合】36

【题型8探究正方形中的最值问题】41

【题型9正方形在坐标系中的运用】46

【题型10正方形中的多结论问题】51

【知识点1正方形的定义】

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．

【知识点2正方形的性质】

①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角

线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．④两条对角线将正方形分成四

个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．

【题型1正方形的性质（求角的度数）】

【例1】（2022春•建阳区期中）如图，在正方形ABCD中有一个点E，使三角形BCE是正三角形，

求：（1）∠BAE的大小

（2）∠AED的大小．

【分析】（1）根据正方形的性质和正三角形的性质、以及角的和差关系可求∠ABE的度数，再根据等腰

三角形的性质可求∠BAE的大小；

（2）根据正方形的性质得到∠EAD＝15°，同理，∠ADE＝15°，再根据三角形内角和定理可求∠AED

的大小．

【解答】解：（1）因为四边形ABCD为正方形，

所以AB＝BC，∠ABC＝∠BAD＝90°，

因为△EBC是正三角形，

所以∠EBC＝60°，BE＝BC＝EC，

所以∠ABE＝30°，AB＝BE，

所以∠BAE＝∠AEB＝（180°﹣∠ABE）÷2＝150°÷2＝75°．

（2）因为∠BAE＝75°，

所以∠EAD＝90°﹣∠EAB＝15°，

同理，∠ADE＝15°，

所以∠AED＝180°﹣∠EAD﹣∠ADE＝180°﹣15°﹣15°＝150°．

【变式1-1】如图，已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边

在直线MN上方作正方形AEFG．

（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；

（2）连接FC，观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由．

【分析】（1）利用正方形的性质及SAS定理求出△ADG≌△ABE，再利用全等三角形的性质即可解答；

（2）过F作FH⊥MN于H，根据正方形及直角三角形的性质可求出△ABE≌△EHF，根据三角形全等

可求出BE＝HF，AB＝EH，通过等量代换可得CH＝FH，利用等腰直角三角形的性质即可解答．

【解答】（1）证明：

∵四边形ABCD、AEFG都是正方形，

∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°，

∴∠1+∠3＝90°，∠2+∠3＝90°，

即∠1＝∠2，∴△ADG≌△ABE；

（2）解：∠FCN＝45°，

理由如下：

过F作FH⊥MN于H，则∠EHF＝90°，

∵四边形ABCD、AEFG都是正方形，

∴AB＝BC，AE＝EF，∠ABE＝∠AEF＝90°，

∴∠1+∠4＝90°，∠4+∠5＝90°，

∴∠1＝∠5，

又∵∠ABE＝∠EHF＝90°，

∴△ABE≌△EHF，

∴BE＝HF，AB＝EH，

∴BC＝EH，

∴HC＝BE，

∴在Rt△CHF中，CH＝FH，

∴∠FCN＝∠CFH＝45°．

【变式1-2】（2022•武威模拟）如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一点，点F在BC的延

长线上，且BE＝EF，EF交CD于点G．

（1）求证：DE＝EF；