《工程力学》课件第8章.ppt

(4)改善受力情况。改善受力情况可以减少弯矩，从而减小梁的挠度或转角。例如，对于承受集中载荷的梁，若有可能，应将集中载荷变为分布载荷，其自由端的位移将会明显减少。此外，在结构允许的条件下，应使轴上的齿轮、皮带轮等尽可能地靠近支座(图8.17)，以达到降低弯矩、减少变形的目的。图8.17得最大挠度所在截面的横坐标为将xD值代入式(d)，于是得梁的最大挠度为【例8.3】承受集中载荷作用的简支梁如图8.11(a)所示，EI为常数。试求此梁的挠度方程和转角方程，并确定其最大挠度和最大转角。图8.11解(1)列弯矩方程。用平衡方程求得，。因集中荷载F将梁分为两段，各段的弯矩方程不同，故需分别写出它们的弯矩方程，即:(2)列挠曲线近似微分方程并积分。(b)(c)(d)(3)确定积分常数。对简支梁，边界条件为：当x1=0时，w1=0；当x2=l时，w2=0。可见，只能得到两个方程，而积分常数有四个。由挠曲线的连续光滑条件可知：在交接处，左、右两段应有相等的挠度和相同的转角。于是，当x1=x2=a时，有θ1=θ2，w1=w2，由此可列出两个连续条件。这样，可由四个方程求得四个积分常数为(4)确定转角方程和挠度方程。(e)(f)(g)(h)(5)求最大转角和最大挠度。将x1=0和x2=l分别代入式(e)、式(g)，即得左、右两支座处的最大转角为：确定梁的最大挠度：简支梁的最大挠度应发生在θ=0处。在本例中，设a＞b。当x1=0时，θ0，当x=a时，则θ0，即θ=0处的位置(即最大挠度位置)必定在AC段内。令可解得将上式代入式(f)，得最大挠度为当b→0时，(图8.11(b))；当b=/2时，x1=0.5l(图8.11(c))。由此可见，集中载荷F的位置对于最大挠度的位置影响并不大。故为了计算简便，可不考虑集中载荷F的位置，均认为最大挠度发生在梁跨中点。8.4叠加法求梁的变形1.叠加法由前述分析知，在小变形的条件下，且当梁内应力不超过材料的比例极限时，挠曲线近似微分方程为它是一个线性微分方程。由前述分析还可知，在小变形的条件下，由于横截面形心的轴向位移可以忽略不计，因而梁内任一横截面的弯矩与载荷成线性齐次关系。例如图8.12所示的梁，任一横截面的弯矩为即M与载荷Me、F及q成线性齐次关系。既然挠曲线近似微分方程为线性微分方程，而弯矩又与载荷成线性齐次关系，那么，当梁上同时作用几个载荷时，挠曲线近似微分方程的解，必等于各载荷单独作用时挠曲线近似微分方程的解的线性组合，而由此求得的挠度与转角也一定与载荷成线性齐次关系。由此可见，当梁上同时作用几个载荷时，如果梁的变形很小，而且应力不超过材料的比例极限，则可利用叠加法计算梁的位移。图8.12例如对于图8.12所示的梁，若载荷q、F与Me单独作用时横截面A的挠度分别为wq、wF、，则当它们同时作用时该截面的挠度为w=wq+wF+为了便于工程计算，人们已经将常见静定梁在简单载荷作用下的挠度和转角方程以及一些特定点的挠度和转角算出，并形成手册。叠加法就是运用叠加原理以及常见静定梁在简单载荷作用下的挠度和转角方程的计算结果，得到常见静定梁在复杂载荷作用下的挠度和转角。常用简支梁、悬臂梁受多种载荷的挠度方程、端截面转角和最大挠度列于表8.1中，该表称为挠度表。【例8.4】桥式起重机大梁的自重为均布载荷，集度为q，吊重为集中力F，作用于跨度中点，如图8.13所示。试求大梁中点处的挠度。图8.13解该简支梁的变形是由均布载荷q和集中力F共同引起的。均布载荷q单独作用时，简支梁跨度中点的挠度由表8.1中第10栏查出为式中负号表示挠度向下。集中力F单独作用时，简支梁中点的挠度由表8.1中第8栏查出为故根据叠加法可知，在两组载荷的共同作用下，跨度中点的挠度为【例8.5】图8.14(a)所示悬臂梁，弯曲刚度为EI，梁承受间断性分布载荷。试利用叠加法确定自由端的挠度和转角。解(1)将梁上的载荷变成有表可查的情况。为利用挠度表中关于梁全长承受均布载荷的计算结果，计算自由端C处的挠度和转角，先将均布载荷延长至梁的全长。为了不改变原来载荷作用的效果，在AB段还需再加上集度相同、方向相反的均布载荷，如图8.14(b)所示。图8.14(2)将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各个简单载荷引起的挠度和转角。图8.