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弧长和扇形面积

1.弧长计算公式

在半径为R的圆中，因为3600的圆心角所对的弧长就是圆周长，所以的圆心角所对的弧长为：

.即弧长计算公式为：.

扇形面积的大小与组成扇形的圆心角的大小有关（圆心角越大，扇形的面积越大）；扇形大小还与扇形的半径有关（扇形的半径越长，扇形的面积越大）.

2.扇形面积计算

如果设圆心角是的扇形面积为S，圆的半径为r,那么扇形的面积为：

3.圆锥的侧面积和全面积

圆锥的底面周长就是其侧面展开图扇形的弧长，圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径.

圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面圆的周长、半径为圆锥的一条母线的长的扇形的面积，而圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积的和.

若圆锥的底面半径为r，母线长为，则它的侧面积为

考点分析与练习

类型1.利用弧长公式求弧长

例1.如图，⊙的半径是⊙的直径，C是⊙上一点，交⊙于点B.若⊙的半径等于5cm，弧AC的长等于⊙周长的，则弧AB的长是cm.

PAB.O例2.如图，已知PA、PB是⊙的切线，A、B是切点，∠P=600

P

A

B

.O

例3.以线段AB为直径作半圆,以线段为直径作半圆，半径交半圆于D点.试比较弧AC的长与弧AD的长的大小.

【拓展提升】

例1.的斜边AB在直线上，AC=1,AB=2,将绕点B在平面内按顺时针方向旋转，使边BC落在直线上，得到,再将绕点在平面内按顺时针方向旋转，使边落在直线上，得到，则点A所经过的两条弧弧、弧的长度为.

例2.已知矩形ABCD的长AB=4,宽AD=3.按如图所示放置在直线AP上，然后不滑动地转动，当他转动一周时（A－E），顶点A所经过的路线长等于.

类型2.利用扇形面积公式

OAB例1.如图，圆心角为600的扇形的半径为

O

A

B

变式题：若一个扇形的半径等于一个圆的半径的3倍，且它们的面积相等，则这个扇形的圆心角为度.

例2.如图，是某工件形状，圆弧BC的度数为600，AB=6cm，点B到点C的距离等于AB，∠BAC=300，求工件的面积.

A

A

C

B

PO2CAO11P例3.如图，⊙O1与⊙O2外切于点A，直线BC与⊙O1切于点B，与⊙O2切于点C，与O1O2的方向延长线交于点P，已知∠P=300.(1)求⊙O1与⊙

P

O2

C

A

O11

P

【拓展提升】

例1.用一根很长的钢缆沿地球赤道一圈后，把钢缆放长10m，此时的钢缆和地球之间的缝隙，是可以让一头牛通过还是只能让一只老鼠通过？

C

C

D

B

E

A

O

例2.如图，AB是⊙O的直径，点D、E是半圆的三等分点，AE、BD延长线交

于点C，若CE＝2，则图中阴影部分的面积是（）

A.B.

C.D.

AEBNCPD

A

E

B

N

C

P

D

M

类型3.圆锥的侧面积和全面积的计算

例1.（1）圆锥底面圆的半径为5cm，母线长为8cm，则它的侧面积为.（用含的式子表示）

ABC.O（2）如图，圆锥底面圆的直径为6cm，高为4cm，则它的全面积为

A

B

C

.O

变式题：（1）已知圆锥的底面半径为40cm，母线长为90cm，则它的侧面展开图的圆心角为.

（2）亮亮想制作一个圆锥模型，模型的侧面是用一个半径为9cm，圆心角为2400的扇形铁皮制作的，再用一块圆形铁皮做底，请你帮他计算这块铁皮的半径为cm.

例2.如图，在中，∠C＝900，AB=13cm，BC=5cm，求以AB为轴旋转一周所得到的几何体的全面积.

B

B

C

A

例3.如图，矩形ABCD中，AB=18cm，AD＝12cm，以AB上一点O为圆心，OB长为半径画弧BF

恰与DC边相切，交AD于F点，连结OF.若将这个扇形OBF围成一个圆锥，求这个圆锥的底面积S.

D

D

E

F

A

O

B

C

类型4.圆锥的侧面积与全面积在实际生活中的应用

PAD

P

A

D

B

C

.

.O

30

80

100

(1)

(2)

例2.如图所示，圆锥的底面圆的半径为3cm，母线长为12cm，在底面圆周上有一蜘蛛从点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A，求它爬行的最短路线的长