2025版零基础数学一轮复习第06讲 向量法求空间角 (2).pdf

第06讲向量法求空间角

知识点精准记忆

知识点一：异面直线所成角

ll

设异面直线和所成角为，其方向向量分别为，；则异面直线所成角向量求法：

12uv



uv

①cosu,v

|u||v|



②cos|cosu,v|

知识点二：直线和平面所成角





设直线的方向向量为，平面的一个法向量为，直线与平面所成的角为，

lanl



an

则①cosa,n；

|a||n|



②sin|cosa,n|.

知识点三：平面与平面所成角（二面角）



（1）如图①，，是二面角l的两个面内与棱垂直的直线，则二面角的大小．

ABCDlAB,CD



（2）如图②③，，分别是二面角l的两个半平面,的法向量，则二面角的大小满足：

nn

12



nn

12

①cosn,n；

12

|n||n|

12



②coscosn,n

12

若二面角为锐二面角（取正），则cos|cosn,n|；

12

若二面角为顿二面角（取负），则cos|cosn,n|；

12

（特别说明，有些题目会提醒求锐二面角；有些题目没有明显提示，需考生自己看图判定为锐二面角还是钝二

面角.）

例题精讲

题型：异面直线所成角

ABCDABCDDCBB

例题1．正方体中，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的余弦