广东东莞中学、广州二中、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学六校2024-2025学年高三上学.docx

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广东东莞中学、广州二中、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学六校2024-2025学年高三上学期十二月联考数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，，则（???）

A． B． C． D．

2．命题：“”的否定是（???）

A． B．

C． D．

3．已知等边的边长为1，点分别为的中点，若，则（????）

A． B．

C． D．

4．将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则在下列区间中，函数单调递减的是（???）

A． B．

C． D．

5．已知，且，则的最小值为（???）

A．4 B． C．6 D．8

6．将曲线（为自然对数的底数）绕坐标原点顺时针旋转后第一次与轴相切，则（???）

A． B． C． D．

7．如图，在已知正方体.中，是棱上的点，且平面将此正方体分为两部分，则体积较小部分与体积较大部分的体积之比为（???）

A． B．

C． D．

8．已知函数，若有两个零点，则的值为（???）

A． B． C． D．

二、多选题

9．在复平面内，复数对应的向量分别为、，则下列说法不正确的是（???）

A．

B．

C．若，则

D．若，则

10．已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（??）

A．当，最大

B．使得成立的最小自然数

C．

D．中最小项为

11．如图，在直三棱柱中，，Q是线段的中点，P是线段上的动点（含端点），则下列命题正确的是（????）

A．三棱锥的体积为定值

B．直线与所成角的正切值的最小值是

C．在直三棱柱内部能够放入一个表面积为的球

D．的最小值为

三、填空题

12．已知向量，若与垂直，则等于.

13．已知数列的前项和为，，则数列的前项和.

14．若存在（互不相等），满足，则的取值范围为.

四、解答题

15．在中，角对应的三边分别是，且

(1)求角的值;

(2)若，求的面积.

16．已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为，，点在椭圆上.

(1)求椭圆的标准方程和离心率；

(2)已知直线与椭圆交于、两点，且，求面积的取值范围.

17．如图所示，已知四棱锥中，，.

??

(1)求证:平面；

(2)当四棱锥的体积最大时，求二面角的正弦值.

18．已知函数.

(1)若，求函数的极值；

(2)讨论的单调性；

(3)若是的两个极值点，证明：.

19．给定正整数，设数列是的一个排列，对表示以为首项的递增子列的最大长度（数列中项的个数叫做数列的长度），表示以为首项的递减子列的最大长度.我们规定：当后面的项没有比大时，，当后面的项没有比小时，，例如数列：，则.

(1)若，求和；

(2)求证:；

(3)求的最值.

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参考答案：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

D

B

B

C

D

C

A

B

ACD

ABD

题号

11

答案

ABD

1．D

【分析】先分别求出集合，再根据交集的定义即可得解.

【详解】，

，

所以.

故选：D.

2．B

【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，可直接得到答案.

【详解】因为命题：“”的否定是：“”.

故选：B

3．B

【分析】取为基底，利用平面向量基本定理结合已知条件求解即可.

【详解】在中，取为基底，

则，

因为点分别为的中点，,

所以，

所以.

故选：B.

4．C

【分析】先根据周期变换得出函数的解析式，再根据正弦函数的单调性逐一判断即可.

【详解】由题意，

对于A，由，得，

所以函数在上单调递增，故A不符；

对于B，由，得，

所以函数在上不单调，故B不符；

对于C，由，得，

所以函数在上单调递减，故C符合；

对于D，由，得，

所以函数在上不单调，故D不符.

故选：C.

5．D

【分析】根据结合基本不等式求解即可.

【详解】因为，且，

所以，

当且仅当，即时，取等号，

所以的最小值为.

故选：D.

6．C

【分析】设直线与曲线相切，设切点为，根据导数的几何意义求出切点，再由题意可得即可得解.

【详解】设直线与曲线相切，设切点为，

，

则有，

，解得，所以，

所以切点为，

将曲线（为自然对数的底数）绕坐标原点顺时针旋转后第一次与轴相切，

则