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学必求其心得，业必贵于专精

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§5从力做的功到向量的数量积

知识梳理

1。两个向量的夹角

（1)定义：已知两个非零向量a，b，如图2—5-1所示,作=a，=b，则∠AOB称为a与b的夹角,记作〈a，b〉。

图2—5-1

(2)范围：［0,π],a，b=〈b，a〉。

（3）当a，b〉=时,称向量a与b互相垂直，记作a⊥b.规定零向量与任一向量垂直。

(4）当〈a,b〉=0时，a与b同向；当〈a，b=π时，a与b反向。

2.向量的射影

图2-5-2

已知向量a和b，如图2-5-2所示，作=a，=b，过点B作的垂线,垂足为B1，则1的数量｜b｜cosθ叫做向量b在向量a方向上的正射影(简称射影）。

3.向量的数量积(内积）

（1）定义：｜a||b｜cosθ叫做向量a与b的数量积（或内积）,记作a·b,即a·b=｜a｜|b|cosθ.

（2）理解：两向量的数量积不是向量而是数量,它可以为正数、为零、为负数.

（3）几何意义:向量a与向量b的数量积等于a的长度｜a｜与b在a方向上的射影|b｜cosθ的乘积,或看作是b的长度｜b|与a在b方向上的射影|a|cosθ的乘积。

4。向量数量积的性质

设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.

（1）e·a=a·e=|a|cosa,e〉.

(2）a·ba·b=0。

(3)当a与b同向时，a·b=|a｜｜b|;当a与b反向时,a·b=-|a｜｜b|；特别地：a·a=|a|2或｜a｜=.

(4）cosa,b=。

（5)｜a·b｜≤｜a｜｜b|。

5.向量数量积的运算律

交换律：a·b=b·a;结合律：（λa)·b=λ（a·b）=a·（λb)(λ∈R)；

分配律：（a＋b）·c=a·c＋b·c.

知识导学

1。学好本节,需复习平行向量基本定理、平面向量基本定理、平面向量的坐标表示、平面向量的坐标运算.

2。本节的重点是向量数量积的坐标运算、度量公式及其应用，特别是向量垂直的坐标运算的应用；难点是向量数量积的理解，以及灵活应用度量公式解决问题.

疑难突破

1。向量的数量积、向量的数乘和实数的乘法，这三种运算有什么区别和联系？

剖析：难点是对这三种运算分不清.其突破的途径主要是从运算的定义、表示方法、性质、结果和几何意义上来分析对比。

①从定义上看:两个向量数量积的结果是一个实数，而不是向量，符号由夹角的大小决定；向量的数乘的结果是一个向量，其长度是原向量长度的倍数，其方向由这个实数的符号所决定;两个实数的积也是一个实数，符号由这两个实数的符号所决定.

②从运算的表示方法上看：两个向量a、b的数量积称为内积，写成a·b；大学里还要学到两个向量的外积a×b,而a·b是两个向量的数量的积，因此书写时要严格区分.符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略,也不能用“×代替；向量的数乘的写法同单项式的写法；实数的乘法的写法我们就非常熟悉了.

③从运算的性质上看：在向量的数量积中，若a·b=0，则a=0或b=0或〈a，b〉=;在向量的数乘中,若λa=0，则λ=0或a=0；在实数的乘法中，若a·b=0,则a=0或b=0。

在向量的数量积中：a·b=b·cb=0或a=c或〈b，(a－c)〉=；在向量的数乘中，λa=λb（λ∈R)a=b或a≠b;在实数的乘法中，ab=bca=c或b=0。

在向量的数量积中:(a·b）c≠a·（b·c)；在向量的数乘中，（λｍ）a=λ(ｍa)（λ∈R，m∈R）；在实数的乘法中,有（a·b)c=a·（b·c)。

④从几何意义上来看：在向量的数量积中,a·b的几何意义是a的长度｜a｜与b在a方向上的射影｜b｜cosθ的乘积；在向量的数乘中，λa的几何意义就是把向量a沿向量a的方向或反方向放大或缩小｜λ|倍.

2。如何应用｜a｜=来求平面内两点间的距离？

剖析：难点是知道这个等式成立，但不会用来求平面内两点间的距离.其突破口是建立平面向量基底，再代入等式即可.

例如:如图2-5—3所示,已知平行四边形ABCD中，AB=3，AD=1，∠DAB=,求对角线AC和BD的长.

图2—5-3

解：设=a,=b.

则|a|=3,|b|=1，a，b=。

∴a·b=｜a｜|b｜cos〈a,b〉=。

又∵=a+b，=a-b，

∴||=，

｜｜=，

∴AC=,DB=。

由此可见向量法求平面内两点间的距离的步骤是:

①建立平面向量基底或建立平面直角坐标系，将平面内两点间距离转化为向量的长度;

②应用公式|a|=，通过向量运算求出向量的长度;

③把向量的长度还原成平面内两点间的距离。