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第一章

第一章

1.建立线性规划问题要具备三要素：决策变量、约束条件、目标函数。决策变量（DecisionVariabl

e）是决策问题待定的量值，取值一般为非负；约束条件（ConstraintConditions）是指决策变量取值

时受到的各种资源条件的限制，保障决策方案的可行性；目标函数（ObjectiveFunction）是决策者希

望实现的目标，为决策变量的线性函数表达式，有的目标要实现极大值，有的则要求极小值。

2.（1）设立决策变量；

（2）确定极值化的单一线性目标函数；

（3）线性的约束条件：考虑到能力制约，保证能力需求量不能突破有效供给量；

（4）非负约束。

3.（1）唯一最优解：只有一个最优点

（2）多重最优解：无穷多个最优解

（3）无界解：可行域无界，目标值无限增大

（4）没有可行解：线性规划问题的可行域是空集

无界解和没有可行解时，可能是建模时有错。

4.线性规划的标准形式为：目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项bi≥0,决策变量满足非负

性。

如果加入的这个非负变量取值为非零的话，则说明该约束限定没有约束力，对企业来说不是紧缺资源，

所以称为松弛变量；剩余变量取值为非零的话，则说明“≥”型约束的左边取值大于右边规划值，出现剩余

量。

5.可行解：满足约束条件AX=b,X≥0的解，称为可行解。

基可行解：满足非负性约束的基解，称为基可行解。

可行基：对应于基可行解的基，称为可行基。

最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。

最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。

6.计算步骤：

第一步，确定初始基可行解。

第二步，最优性检验与解的判别。

第三步，进行基变换。

第四步，进行函数迭代。

判断方式：

0

唯一最优解：所有非基变量的检验数为负数，即σ

j

≤0，且存在某个非基变量xNk的检验数σ=0，让其进

无穷多最优解：若所有非基变量的检验数σ

jk

基，目标函数的值仍然保持原值。如果同时存在最小θ值，说明有离基变量，则该问题在两个顶点上同

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时达到最优，为无穷多最优解。

无界解：若某个非基变量xNk的检验数σ0，但其对应的系数列向量P中，每一个元素a(i=

kkik

1,2,3,…,m)均非正数，即有进基变量但找不到离基变量。

无可行解：当引入人工变量，最末单纯型发表中的基变量含有非零的人工变量，即人工变量不能全出

基，则无可行解。

7.单纯形法需要有一个单位矩阵作为初始基。当约束条件都是“≤”时，加入松弛变量就形成了初始基，

但实际问题中往往出现“≥”或“＝”型的约束，这就没有现成的单位矩阵。需要采用人造基的办法，无单位

列向量的等式中加入人工变量，从而得到一个初始基。人工变量只有取0时，原来的约束条件才是它本

来的意义。为保证人工变量取值为0，令其价值系数为-M（M为无限大的正数，这是一个惩罚项）。如

果人工变量不为零，则目标函数就不能实现最优，因此必须将其逐步从基变量中替换出。对最小化问

题，在目标函数中人工变量的系数取M。

8.

9.

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