第十七章一元二次方程(5大知识归纳+10类题型突破)(原卷版+解析).docxVIP

第十七章一元二次方程（5大知识归纳+10类题型突破）

1.掌握一元二次方程的概念、一般形式；

2.掌握一元二次方程的解；

3、掌握一元二次方程的四大解法；

4、掌握一元二次方程根与系数的关系；

5、理解一元二次方程的应用问题；

知识点一：一元二次方程的概念

1．理解并掌握一元二次方程的意义

未知数个数为1，未知数的最高次数为2，整式方程，可化为一般形式；

2．正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数

（1）明确只有当二次项系数时，整式方程才是一元二次方程。

（2）各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数).

（3）熟练整理方程的过程

一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解

列出实际问题的一元二次方程

知识点二：一元二次方程的解法

1．明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解；

根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；

3．体会不同解法的相互的联系；

4．值得注意的几个问题：

(1)开平方法：对于形如或的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解.

形如的方程的解法：

当时，;

当时，;

当时，方程无实数根。

（2）配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为的方程，再运用开平方法求解。

配方法的一般步骤：

①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；

②“系数化1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1；

③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为的形式；

④求解：若时，方程的解为，若时，方程无实数解。

（3）公式法：一元二次方程的根

当时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等；

当时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为；

当时，方程无实数根.

公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式；②确定的值；③代入中计算其值，判断方程是否有实数根；④若代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。

（因为这样可以减少计算量。另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完全的一元二次方程。）

（4）因式分解法：

①因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，即：若，则；

②因式分解法的一般步骤：

若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；把方程的左边分解因式；令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。

（5）选用适当方法解一元二次方程

①对于无理系数的一元二次方程，可选用因式分解法，较之别的方法可能要简便的多，只不过应注意二次根式的化简问题。

②方程若含有未知数的因式，选用因式分解较简便，若整理为一般式再解就较为麻烦。

（6）解含有字母系数的方程

（1）含有字母系数的方程，注意讨论含未知数最高项系数，以确定方程的类型；

（2）对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可选用别的方法，此时一定不要忘记对字母的取值进行讨论。

知识点三：根的判别式的应用

了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合题意的参数取值范围。

（1）=

（2）根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次方程（）

①当方程有实数根；

（当方程有两个不相等的实数根；当方程有两个相等的实数根；）

②当方程无实数根；

从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理。

2．常见的问题类型

（1）利用根的判别式定理，不解方程，判别一元二次方程根的情况

（2）已知方程中根的情况，如何由根的判别式的逆定理确定参数的取值范围

（3）应用判别式，证明一元二次方程根的情况

①先计算出判别式（关键步骤）；

②用配方法将判别式恒等变形；

③判断判别式的符号；

④总结出结论.

（4）分类讨论思想的应用：如果方程给出的时未指明是二次方程，后面也未指明两个根，那一定要对方程进行分类讨论，如果二次系数为0，方程有可能是一元一次方程；如果二次项系数不为0，一元二次方程可能会有两个实数根或无实数根。

（5）一元二次方程根的判别式常结合三角形、四边形、不等式（组）等知识综合命题，解答时要在全面分析的前提下，注意合理运用代数式的变形技巧

（6）一元二次方程根的判别式与整数解的综合

（7）判别一次函数与反比例函数图象的交点问题

知识点四：根与系数的关系

如果一元二次方程（）的两根为那么，就有

比较等式两边对应项的系数，得

①式与②式也可以运用求根公式得到．人们把公式①与②称之为韦达定理，即根与系数的关系．

因此，给定一元二次方程就一定有①与②式成立．反过来，如果有两数满足