数学知识导航：两角和与差的正弦、余弦和正切公式.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

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3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式

知识梳理

在三角恒等变换公式中，余弦的差角公式是其他公式的基础，由它出发，用-β代替β、±β代替β、α代替β等换元法可以推导出其他公式。你能根据下表回顾推导过程吗？

知识导学

要学好本节内容，可复习已学过的其他知识，充分利用单位圆,分析其中有关几何元素（角的终边及其夹角）的关系，为向量方法的运用做好准备。有意识地联想向量知识.向量的数量积是解决距离与夹角问题的工具，在两角差的余弦公式的推导中应如何能够体现它的作用？探索过程的安排,应当先把握整体，然后逐步追求细节,在补充完善细节的过程中，需要运用分类讨论思想，突破两角差的余弦公式的推导这一难点后，其他所有公式都可以通过自己的独立探索而得出.

疑难突破

1。两角和与差的正弦公式是怎样推导的？两角和与差正切公式是怎样推导的？

剖析：用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化：

sin（α+β）=cos［-（α+β）］=cos［（—α）-β]=cos(—α）cosβ+sin(—α）sinβ=sinαcosβ+cosαsinβ；

sin（α—β）=sin［α+(-β)］=sinαcos（—β）+cosαsin（—β)=sinαcosβ—cosαsinβ;

tan（α+β）=，

分式分子、分母同时除以cosαcosβ，得到tan（α+β）=.

注意：α+β≠+kπ,α≠+kπ，β≠+kπ(k∈Z）.

tan(α-β）=tan［α+（-β)］=。

注意：α-β≠+kπ,α≠+kπ,β≠+kπ（k∈Z）。

对于两角和与差的公式的异同要进行对比与分析，便于理解记忆和应用。

（1)明确角、函数名和排列顺序以及公式中每一项的符号；

（2)要牢记公式，并能熟练地进行左右互相转化;

(3）和、差角公式可以看成是诱导公式的推广,诱导公式可以看成和、差角公式的特例。

2.三个基本的三角恒等变换.

剖析：（1）代换

这是一种常用的数学思想，特别是解三角题尤为突出，本部分主要代换是角的代换,常用的有：

α=(α+β)—β=β—（β—α）=［（α+β）+(α-β）]=［(α+β)-(β—α)］，

2α=(α+β)+（α-β)=(α+β)—（β-α)，

4α=2·2α,α=2·等.

这几种代换形式要灵活掌握，解题中经常用到.

如α、β为锐角,cosα=，cos(α+β)=，则cosβ=_____________.

若展开cos(α+β）进行运算，则烦琐难解，但若利用β=（α+β）-α代换，则解法简便，大大降低了解题难度。

(2）公式的逆向、多向变换

使用任何一个公式都要注意它的逆向、多向变换，这是灵活使用公式所必需的,特别是三角函数公式.

如：计算sin20°cos50°—sin70°cos40°，能逆用两角差的正弦化为：

sin(20°-50°）=sin（-30°)=—.

计算。

以下几种变换要熟练掌握:

tanα±tanβ=tan（α±β）（1tanαtanβ）,

1tanαtanβ=，

cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α—1=1-2sin2α，

cos2α=，sin2α=。

（3)引入辅助角的变换

对于形如asinα+bcosα(a，b不同时为0)的式子引入辅助角变为Asin（α+φ）的形式，可进行三角函数的化简，求周期最值等。

要熟记以下常用变换:

sinα+cosα=sin(α+),sinα-cosα=sin（α—），

sinα+cosα=2sin（α+），sinα-cosα=2sin（α-).