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学必求其心得，业必贵于专精

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1.3导数在研究函数中的应用

1。3。1单调性

知识梳理

1。如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y=f（x）在这一区间具有（严格的)____________，这一区间叫做y=f(x）的____________，在____________上增函数的图象是____________，减函数的图象是下降的。

2。设函数y=f(x）在某个区间内可导，如果____________,那么f（x）为增函数；如果____________，那么f（x）为减函数；如果在某个区间内恒有f′(x)=0，则f(x）为____________。

知识导学

要学好本节内容，重要的是要掌握好怎样利用导数研究函数的单调性，一般应先确定函数的定义域，再求导数f′(x），通过判断函数的定义域被导数为零的点所划分的各区间内f′(x）的符号来确定函数f（x)在该区间上的单调性.

疑难突破

1。本节内容的重点是利用函数的导数来判断函数的单调性，难点在于如何把握导数的符号与函数单调性之间的关系.若y=f(x)在（a，b)内对任何x，都有f′（x）＞0，则f（x）在（a，b）内为增函数对吗？反之成立吗？

剖析:对,反之不成立.例如y=x3在x∈R上恒为增函数,但f′(x)=3x2≥0.

2.判断函数y=f（x)在某一区间内有f′（x）＞0〔或f′（x)＜0〕是函数y=f(x）在该区间上为增(或减）函数的什么条件?

剖析：在某一区间内f′(x）＞0〔或f′（x)＜0〕是函数y=f（x）在该区间上为增(或减)函数的充分条件.

典题精讲

【例1】讨论下列函数的单调性.

（1）f（x）=ax—a—x（a＞0且a≠1）；

（2)f（x）=(-1＜x＜1，b≠0)。

思路分析：利用导数研究函数单调性，一般应先确定函数的定义域，再求导数f′（x)，由函数定义域中导数为零的点所划分的各区间内f′(x)的符号来确定f(x）在该区间的单调性，当给定函数含有字母参数时，要运用分类讨论的思想方法。

解：（1)函数定义域为R.

f′(x)=axlna—a—x·lna·（—x）′

=lna（ax+a—x）。

当a＞1时，lna＞0，ax+a—x＞0,∴f′(x)＞0。

∴函数f（x）在(—∞，+∞）上是单调增函数；

当0＜a＜1时，lna＜0，ax+a-x＞0，∴f′（x)＜0。

∴函数f（x）在(—∞,+∞）上是减函数.

（2)函数f(x)是奇函数，只需讨论函数在（0，1）上的单调性。

当0＜x＜1时，f′(x)=b·.

若b＞0，则f′（x）＜0，函数f（x）在(0，1)上是减函数；

若b＜0,则f′（x)＞0,函数f(x)在（0，1）上是增函数.

又函数f（x）是奇函数,而奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性,所以当b＞0时，函数f(x)在(—1,1)上是减函数；当b＜0时，函数f(x）在（—1，1)上是增函数.

绿色通道：在判断含参数函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定f′(x）的符号，否则会产生错误判断.

明确利用导数判断函数单调性的基本步骤：

(1)确定函数f（x)的定义域；

（2)求导数f′(x);

(3）在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x）＞0和f′（x)＜0；

(4)确定f（x）的单调区间.

变式训练:求下列函数的单调区间,并指出其单调性.

（1)y=2x-lnx；

（2）y=+cosx;

(3）y=x3-x。

思路分析：按判断函数单调性的方法解之即可。

解：(1）函数的定义域为(0,+∞),其导数f′(x)=.

令＞0,解得x＞；令＜0,得0＜x＜.

因此,（，+∞)为该函数的单调增区间,（0,）为该函数的单调减区间.

（2）函数的定义域为R，f′(x)=—sinx。

令-sinx＜0，解得2kπ+＜x＜2kπ+（k∈Z）；

令—sinx＞0，解得2kπ—＜x＜2kπ+(k∈Z).

因此f（x）在（2kπ+，2kπ+)(k∈Z)上为减函数，在(2kπ-,2kπ+)（k∈Z)上为增函数.

(3)函数的定义域为R,令y′=3x2-1＞0，得x＜。

令y′=3x2—1＜0，得,∴y=x3—x有三个单调区间。

其中在(-∞,)和(，+∞)上是增函数，在(，）上为减函数。

【例2】已知x∈R，求证：ex≥x+1。

思路分析：首先需构造函数，对函数进行求导并判断函数的单调性。

证明：令f(x）=ex—x-1，∴f′（x)=ex—1.

∵x∈R,∴ex-1≥0恒成立，即f′（x)≥0。

∴f（x）在x∈R上为增函数.又∵f（0)=0，

∴当x∈R时,f（x）≥f（0）,即ex-x-1≥0。

∴ex≥x+1。

绿色通道：这是一