数学知识导航第二章6正态分布.docxVIP

学必求其心得，业必贵于专精

学必求其心得，业必贵于专精

学必求其心得，业必贵于专精

§6正态分布

自主整理

1.离散型随机变量的取值是可以_______________的，但在实际应用中，还有许多随机变量可以取某一区间中的一切值,是不可以一一列举的，这种随机变量称为连续型随机变量。

2。如果一个随机变量X可以取某一区间中的一切值,那么在取出的样本中，样本容量越大,所分组数越多,各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率，设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小,那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线称为随机变量X的______________.这条曲线对应的函数称为X的______________，记为______________.

3。如果知道了X的分布密度曲线，则X取值于任何范围（例如{a＜X＜b}）的概率,都可以通过计算该曲线下相应的______________而得到，因此,我们说X的分布密度函数f(x)完全描述了X的规律.计算面积的方法,实际上是计算分布密度函数f（x）在一个区间上的______________。

4。正态分布是现实中最常见的分布,它有两个重要的参数：______________和______________（σ＞0),通常用______________表示X服从参数为μ和σ2的正态分布.当μ和σ给定后，就是一个具体的正态分布。当n很大时，二项分布也可以用______________分布来近似描述.

5.随机变量服从正态分布,则它在区间(μ-2σ，μ+2σ)外取值的概率只有______________,而在区间（μ-3σ,μ+3σ)外取值的概率只有______________,由于这些概率值很小，通常称这些情况发生为小概率事件。也就是说,通常认为这些情况在一次试验中______________.

高手笔记

1.μ为总体的均值（或期望），即EX=μ。

σ2（σ＞0）为总体的方差，σ为总体的标准差,即DX=σ2，=σ.

2。正态分布的性质

(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交.

（2)曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称.

（3)曲线在x=μ处达到峰值.

（4）曲线与x轴之间的面积为1.

（5）当σ一定时,曲线随着μ的变化而沿x轴平移。

（6)当μ一定时,曲线的形状由σ确定：σ越小,曲线起“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大,曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散。

（7）若X—N(μ，σ2）,则对于任何实数a＞0,概率P(μ—a＜x＜μ+a）=（x)dx.

3。正态分布在三个特殊区间内取值的概率值

P（μ—σ＜X＜μ+σ）=68.3％

P(μ-2σ＜X＜μ+2σ）=95.4％

P（μ-3σ＜X＜μ+3σ)=99.7%

名师解惑

1。正态分布的题型及求解策略

剖析:（1)借助正态分布密度曲线的图象及性质解题。

结合实例、图象,理解正态曲线的性质,并会运用性质去解决简单的问题，要特别注意正态曲线的对称性,以及当μ一定时，曲线的形状与σ大小的关系.

(2）对于有关正态分布的计算问题,要记住当正态总体取值在区间（μ—σ，μ+σ),(μ—2σ,μ+2σ),（μ—3σ，μ+3σ)内的概率值，将所给问题转化到上述区间内解决，同时要注意对称性的运用和数形结合思想的应用.

2。质量控制的基本思想-—3σ原则

剖析:一般认为凡服从正态分布的随机变量X取（μ—3σ，μ+3σ）之间的概率为0。997，所以只有0。003的概率在区间之外,称这样的事件为小概率事件，所以,在一个总量比较大的总体中取一件,一定落在区间（μ-3σ,μ+3σ)内，所以用这样的方法来检验总体是否合格.

讲练互动

【例1】某班有48名同学,一次考试后数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，问从理论上讲成绩在80分到90分之间的有多少人？

分析：要求成绩在80分到90分之间的人数，需先求出分数落在这个范围内的概率,然后乘以总人数即可。

解：设X表示这个班学生的数学成绩，则X—N（80,102）,成绩在80分到90分之间的学生的比例为

P（80—10＜x＜80+10）=×0。683=0.3415，

所以,成绩在80分到90分之间的人数为

48×0.3415≈16(人）。

绿色通道:记住相关数据:P(μ—σ＜x＜μ+σ）=68.3%.

变式训练

1.某地区数学考试的成绩x服从正态分布，其密度函数曲线如下图.成绩x位于区间(52，68］的概率是多少?

分析：这是道典型的由图形求函数,由函数求概率的题目，我们发现x—N（μ,σ2），其中μ=60,f（x）=,

∴σ=8。而区间(52,68］关于x=μ对称,

∴P（52＜x≤68）=P（60—8＜x≤60+8)=P（μ-σ＜x≤μ+σ)=0.6826.

解：∵x服