自主招生模拟题（数学物理）-解析.docx

自主招生模拟题

参考答案与试题解析

第一部分数学

一．选择题（共4小题）

1．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD平分∠BAC交BC于点D，CE平分∠ACB交AB于点E，AD、CE交于点F．则下列说法正确的个数为（）

①∠AFC＝120°；②S△ABD＝S△ADC，③若AB＝2AE，则CE⊥AB；④CD+AE＝AC；⑤S△AEF：S△FDC＝AF：FC．

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【思路点拨】①根据三角形内角和定理可得可得∠ACB+∠CAB＝120°，然后根据AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，可得∠FCA＝，∠FAC＝CAB，再根据三角形内角和定理即可进行判断；

②当AD是△ABC的中线时，S△ABD＝S△ADC，进而可以进行判断；

③延长CE至G，使GE＝CE，连接BG，根据AB＝2AE，证明△ACE≌△BGE（SAS），得∠ACE＝∠G，然后根据等腰三角形的性质进而可以进行判断；

④作∠AFC的平分线交AC于点G，可得∠AFG＝∠CFG＝∠AFE＝60°，证明△AEF≌△AGF（ASA），△CDF≌△CGF（ASA），可得AE＝AG，CD＝CG，进而可以判断；

⑤过G作GM⊥FC，GH⊥AF于点G，H，由④知，FG为∠AFC的角平分线，可得GH＝GM，所以可得S△AGF：S△FGC＝AF：FC，根据△AEF≌△AGF，△CDF≌△CGF，进而可以进行判断．

【答案解析】解：①在△ABC中，∠ABC＝60°，

∴∠ACB+∠CAB＝120°，

∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，

∴∠FCA＝，∠FAC＝CAB，

∴∠AFC＝180°﹣（∠FCA+∠FAC）＝180°﹣（∠ACB+∠CAB）＝120°，故①正确；

②当AD是△ABC的中线时，S△ABD＝S△ADC，

而AD平分∠BAC，故②错误；

③如图，延长CE至G，使GE＝CE，连接BG，

∵AB＝2AE，

∴AE＝BE，

∵∠AEC＝∠BEG，

∴△ACE≌△BGE（SAS），

∴∠ACE＝∠G，CE＝GE，

∵CE为角平分线，

∴∠ACE＝∠BCE，

∴∠BCE＝∠G，

∴BC＝BG，

∵CE＝GE，

∴BE⊥CE，故③正确；

④如图，作∠AFC的平分线交AC于点G，

由①得∠AFC＝120°，

∴∠AFG＝∠CFG＝60°，

∴∠AFE＝60°，

∴∠AFG＝∠CFG＝∠AFE＝60°，

∵∠EAF＝∠GAF，∠DCF＝∠GCF，

∴△AEF≌△AGF（ASA），△CDF≌△CGF（ASA），

∴AE＝AG，CD＝CG，

∴CD+AE＝CG+AG＝AC，故④正确；

⑤过G作GM⊥FC，GH⊥AF于点G，H，

由④知，FG为∠AFC的角平分线，

∴GH＝GM，

∴S△AGF：S△FGC＝AF：FC，

∵△AEF≌△AGF，△CDF≌△CGF，

∴S△AEF：S△FDC＝AF：FC，故⑤正确．

综上所述：正确的有①③④⑤，共4个，

故选：C．

【总结升华】本题考查了角平分线的定义，三角形全等的性质和判定，作辅助线，构建三角形全等是关键，有难度．

2．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD平分∠BAC交BC于点D，CE平分∠ACB交AB于点E，AD、CE交于点F．则下列说法错误的个数为（）

①S△ABD＝S△ADC；

②∠CFD＝60°；

③S△CDF：S△AEF＝FC：AF；

④AE＝AC﹣CD；

⑤若BE＝AB，则CE是△ABC的高．

A．1个 B．2个 C．3个 D．0个

【思路点拨】①当AD是△ABC的中线时，S△ABD＝S△ADC，进而可以进行判断；

②根据三角形内角和定理可得可得∠ACB+∠CAB＝120°，然后根据AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，可得∠FCA＝ACB，∠FAC＝CAB，再根据三角形内角和定理即可进行判断；

③过G作GM⊥FC，GH⊥AF于点G，H，由④知，FG为∠AFC的角平分线，可得GH＝GM，所以可得S△AGF：S△FGC＝AF：FC，根据△AEF≌△AGF，△CDF≌△CGF，进而可以进行判断；

④作∠AFC的平分线交AC于点G，可得∠AFG＝∠CFG＝∠AFE＝60°，证明△AEF≌△AGF（ASA），△CDF≌△CGF（ASA），可得AE＝AG，CD＝CG，进而可以判断；

⑤延长CE至G，使GE＝CE，连接BG，根据AB＝2AE，证明△ACE≌△BGE（SAS），得∠ACE＝∠G，然后根据等腰三角形的性质进而可以进行判断．

【答案解析】解：①当AD是△ABC的中线时，S△ABD＝S△ADC，

而AD平分∠BAC，故①错误；

②在△ABC中，∠ABC＝60°，

∴∠ACB+∠CAB＝120°，

∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，

∴∠FCA＝ACB，∠FAC＝CAB，

∴∠AFC＝18