【数学】图形的相似与位似.docx

初三数学一轮复习

专题图形的相似与位似

一、知识要点

考点1：比例线段、黄金分割、相似三角形的判定

1.比例线段

（1）对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如a：b=c：d（即ad=bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称．

（2）判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．

2.黄金分割

（1）黄金分割的定义：

如图所示，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．

其中AC=AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有．

（2）黄金三角形：黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值．

黄金三角形分两种：

①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°．这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比：；

②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°；这种三角形一腰与底边之长之比为黄金比：．

（3）黄金矩形：黄金矩形的长宽之比确切值为．

3.平行线分线段成比例定理

（1）平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段.

如图：l1∥l2∥l3，直线a、b分别与l1、l2、l3交于点A、B、C和点D、E、F、，则有

（1）（2）（3）=成立.

（2）平行于三角形一边的直线的性质

平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形.

4.、相似三角形的判定定理

判定方法（一）：分别相等的两个三角形相似.

判定方法（二）：两边成比例相等的两个三角形相似.

判定方法（三）：三边的两个三角形相似.

5.相似三角形的常见图形及其变换：

6.三角形的重心：三角形的三条相交于一点，这点叫做三角形的重心.

考点2：相似三角形性质与判定

1.相似三角形的概念

定义:在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，

，那么△ABC和△A′B′C′相似，记做△ABC∽△A′B′C′．

相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边.

相似三角形的对应边的比叫作相似比.

一般地，若△ABC与△A′B′C′的相似比为k,则△A′B′C′与△ABC的相似比为.

要点诠释：全等三角形是相似比为1的相似三角形.全等三角形是相似三角形的一个特例.

2.相似多边形的概念

相似多边形：对于两个边数相等的多边形，如果他们的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫作相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.

如果四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，且点A,B,C,D分别与点A1，B1，C1，D1对应，则记作：“四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1”.

相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例．

要点诠释：用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况：

（1）对应角都相等的两个多边形不一定相似，如：矩形；

（2）对应边的比都相等的两个多边形不一定相似，如：菱形；

（3）边数相同的正多边形都相似，如：正方形，正五边形.

3.相似三角形的性质

（1）相似三角形周长的比等于∽，则

由比例性质可得：

类似地，我们还可以得到：相似多边形周长的比等于相似比.

（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方

∽，则分别作出与的高和，则

如果把两个相似多边形分成若干个相似的三角形，我们还可以得到：

相似多边形面积的比等于相似比的平方.

4.相似三角形中对应线段的比

（1）相似三角形的对应角，对应边的比.

（2）相似三角形中的对应线段的比相似比.

（3）相似三角形对应，对应，对应的比都等于相似比.

考点3：相似三角形的应用、位似图形

1.平行投影

一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的.只要有光线，有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样在平行光的照射下，物体所产生的影称为.由此我们可得出这样两个结论：

（1）等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长.

（2）等长的物