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广东省卓越联盟学校2024-2025学年高二上学期第一次联考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．直线的倾斜角为（???）

A． B． C． D．

2．某种心脏手术成功率为0.9，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率.先利用计算器或计算机产生09之间取整数值的随机数，由于成功率是0.9，故我们用0表示手术不成功，1，2，3，4，5，6，7，8，9表示手术成功，再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果.经随机模拟产生如下10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（????）

A．0.9 B．0.8 C．0.7 D．0.6

3．已知动点在所在平面内运动，若对于空间中任意一点，都有，则实数的值为（???）

A．2 B．0 C． D．1

4．经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（???）

A． B．

C．或 D．或

5．已知，，，则在方向上的投影向量的坐标为（???）

A． B． C． D．

6．已知，，圆上恰有个点满足，则可以为（???）

A． B． C． D．

7．、分别是双曲线左、右焦点，若关于渐近线的对称点恰落在以为圆心，为半径的圆上，则双曲线的离心率为（???）

A． B． C． D．

8．在两条异面直线，上分别取点，和点，，使，且．已知，，，，则两条异面直线，所成的角为（???）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知事件，且，，则下列说法正确的是（）

A．若，则 B．若与互斥，则

C．若与相互独立，则 D．若与相互独立，则

10．方程，则下列说法正确的是（????）

A．当时，方程表示椭圆

B．当时，方程表示焦点在轴上的双曲线

C．当时，方程表示圆

D．当或时，方程表示双曲线

11．如图，若正方体的棱长为1，点是正方体的侧面上的一个动点（含边界），是棱上靠近点的三等分点，则下列结论正确的有（???）

??

A．沿正方体的表面从点到点的最短路程为

B．若，点的运动轨迹是线段

C．若，则点在侧面内运动路径长度为

D．当点与点重合时，三棱锥的体积最大

三、填空题

12．已知直线，，若，则实数．

13．人教A版选择性必修第一册教材44页“拓广探索”中有这样的表述：在空间直角坐标系中，设是平面内的任意一点，若平面经过点，且以为法向量，则由，可得，此即为平面的点法式方程．利用上面给出的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线的方向向量为，则直线与平面所成角的正弦值为．

14．已知为椭圆的右焦点，为上一点，为圆上一点，则的最小值为．

四、解答题

15．袋子中放有大小质地完全相同的球若干个，其中红色球1个，黑色球1个，白色球个，从袋子中随机抽取1个小球，设取到白色球为事件，且事件发生的概率是．

(1)求的值；

(2)若从袋子中有放回地取球，每次随机取一个，若取到红色球得2分，取到白色球得1分，取到黑色球得0分，求连续两次取球所得分数之和大于2分的概率．

16．如图，在三棱台中，和都为等边三角形，且边长分别为和，，，为线段的中点，为线段上的点，平面．

(1)求证：点为线段的中点；

(2)求点到平面的距离．

17．已知圆，是圆上的一个动点，点，是线段的中点，为坐标原点．

(1)求动点的轨迹方程；

(2)当时，求直线的方程及线段的长度．

18．如图1，在边长为4的菱形中，，点，分别是边，的中点，，．沿将翻折到的位置，连接，，，得到如图2所示的五棱锥．

(1)证明：在翻折过程中总有平面平面；

(2)若平面平面，线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由．

19．定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”，记作.已知椭圆的一个焦点坐标为，且椭圆过点.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)求“共轭点对”中点所在直线的方程；

(3)设为坐标原点，点在椭圆上，且，（2）中的直线与椭圆交于两点，且点的纵坐标大于0，设四点在椭圆上逆时针排列.证明：四边形的面积小于.

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参考答案：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

D

B

C

C

D

A

A

B

BC

BCD

题号

11