2025年九年级中考数学总复习20 微专题 遇到角平分线如何添加辅助线.docx

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微专题20遇到角平分线如何添加辅助线

一阶方法训练

方法解读

情形一过角平分线上的点作一边的垂线

原理：1.角平分线上一点到角两边的距离相等；

2.两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等.

作法：如图，过点P作PB⊥ON于点B.

结论：AP＝BP；Rt△AOP≌Rt△BOP

情形二过角平分线上的点作角平分线的垂线

原理：1.两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等；

2.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”)

作法：如图，过点P作PB⊥OP，交ON于点B.

结论：△OAB是等腰三角形

情形三1.过角平分线上的点作边的平行线；

2.过边上的点作角平分线的平行线

原理：(1)两直线平行，内错角相等；

(2)两直线平行，同位角相等；

(3)等角对等边.

作法：(1)过点P作PQ∥ON，交OM于点Q；

(2)过点P作PQ∥OB，交NO的延长线于点Q.

结论：△OPQ为等腰三角形

情形四1.在被平分的角的长边上截取与短边相等的线段；

2.延长被平分的角的短边至与长边相等

原理：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.

作法一：截长法

在AC上截取AE＝AB，连接DE，

结论：△ABD≌△AED；

作法二：补短法

延长AB至点F，使AF＝AC，连接DF，

结论：△AFD≌△ACD

方法一遇角一边的垂线，考虑运用角平分线定理

[6年3考：2024.17(3)，2021.7，2020.22]

例1(北师八下例题改编)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D.若AD＝3，S△BCD＝15，则BC＝.

例1题图

例2(人教八上习题改编)如图，∠AOB＝45°，OC平分∠AOB，点D是OC上一点，过点D作OA的垂线，交OA于点E，交OB于点F，若DE＝1，则DF的长为.

例2题图

方法二遇角平分线的垂线，考虑构造等腰三角形

例3(人教八上习题改编)如图，△ABC的面积为16，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则△ACD的面积为.

例3题图

例4如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于点E，BD⊥AD，若BD＝2，则AE的长为.

例4题图

方法三遇角平分线(或边)上一点，考虑作平行线构造等腰三角形

例5如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝6，点D在AC边上，且BD平分∠ABC，则CDAD的值为

例5题图

例6如图，在△ABC中，∠ABC＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作BC的垂线，垂足为点E，若DE＝2，则BE的长为.

例6题图

方法四截长补短构造轴对称图形

例7如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，∠A＝120°，BD平分∠ABC.若AB＋AD＝8，则BC的长为.

例7题图

例8(人教八上习题改编)如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是BD的中点，若AB＝2BC，AD＝5，求CE的长.

解法一(截长法)：

例8题图

解法二(补短法)：

二阶综合应用

1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，若AD＝4，∠CBD＝15°，则AB的长为.

第1题图

2.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E为AB上一点，∠AED＝∠C，若AD＝4，AE＝5，DE＝6，则BC的长为.

第2题图

3.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D.

(1)如图①，E为AC边上一点，连接ED，已知∠AED＋∠B＝180°.求证：DB＝DE；

(2)如图②，△ABC的外角∠CBP的平分线BF与AD延长线交于点F，连接CF，求∠BCF的度数.

第3题图

一阶方法训练

例110【解析】如解图，过点D作DE⊥BC于点E.∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，∠A＝90°，∴DE＝AD＝3.∵S△BCD＝15，∴12BC·DE＝15，即32BC＝15，解得BC＝

例1题解图

例22【解析】如解图，过点D作DG⊥OB于点G，∴∠DGF＝90°.∵DE⊥OA，OC平分∠AOB，∴DG＝DE＝1，∵∠AOB＝45°，EF⊥OA，∴△EOF是等腰直角三角形，∴∠EFO＝45°，∴△DGF是等腰直角三角形，∴DF＝2DG＝2.

例2题解图

例38【解析】如解图，延长BD交AC于点E，∵AD平分∠BAE，AD⊥BD，∴∠BAD＝∠EAD，∠BDA＝∠EDA＝90°，在△BAD和△EAD中，∠BAD＝∠EADAD＝AD∠BDA＝∠EDA，∴△BA