2025年中考数学总复习43 微专题 圆的综合题.docx

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微专题43圆的综合题

类型一与锐角三角函数结合

1.如图，AB为☉O的直径，△BCD内接于☉O，连接DA并延长交BC的延长线于点E，且∠E＝∠ABC.

（1）求证：BC＝EC；

（2）若EC＝20，tan∠BCD＝247，求☉O的半径

第1题图

2.如图，四边形ABCD内接于☉O，对角线BD为☉O的直径，对角线AC是∠BCD的平分线，过点A作AE∥BD，交CB的延长线于点E.

（1）求证：AE是☉O的切线；

（2）若∠AEB＝60°，BD＝22，求AC的长.

第2题图

3.（2021广东24题10分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，∠ABC＝90°，点E，F分别在线段BC，AD上，且EF∥CD，AB＝AF，CD＝DF.

（1）求证：CF⊥FB；

（2）求证：以AD为直径的圆与BC相切；

（3）若EF＝2，∠DFE＝120°，求△ADE的面积.

第3题图

类型二与全等三角形结合

1.如图所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，以直角边AB为直径作☉O，交斜边AC于点D，连接BD.

（1）若∠C＝30°，求ADCD的值

（2）过点D作☉O的切线，交BC于点E，求证：E是BC的中点.

第1题图

2.（2024梅州模拟）如图，P为☉O外一点，PA，PB为☉O的切线，切点分别为A，B，直线PO交☉O于点D，E，交AB于点C.

（1）求证：∠ADE＝∠PAE；

（2）若∠ADE＝30°，连接BD，求证：四边形ADBP是菱形.

第2题图

3.如图，BC为☉O的弦，点A为劣弧BC的中点，D为BC上一点，连接AD，过点A作☉O的切线AE，连接CE，CE∥AD，点F为AE上一点，AF＝BD，连接AB，AC，CF.

（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；

（2）当BD＝EF＝12AB时，求证：AC＝2AD

第3题图

4.（2023广东22题12分）综合探究

如图①，在矩形ABCD中（AB＞AD），对角线AC，BD相交于点O，点A关于BD的对称点为A.连接AA交BD于点E，连接CA.

（1）求证：AA⊥CA；

（2）以点O为圆心，OE为半径作圆.

①如图②，☉O与CD相切，求证：AA＝3CA；

②如图③，☉O与CA相切，AD＝1，求☉O的面积.

第4题图

类型三与相似三角形结合

[6年2考：2020.22（2），2019.24（3）]

1.如图，△ABC内接于☉O，AB是☉O的直径，D是☉O上一点，连接CD，过点C作☉O的切线交DB的延长线于点E，且DE⊥CE.

（1）求证：AC＝CD；

（2）若☉O的半径为5，BC＝6，求BD的长.

第1题图

2.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，△ADE的外接☉O与BC交于点F，连接AF，AF平分∠BAC.

（1）求证：BC为☉O的切线；

（2）若AD·CE＝8，求☉O的半径.

第2题图

3.（2024珠海一模）如图，AB是☉O的直径，C是半圆AB的中点，点D是☉O上一点，连接CD交AB于E，点F是AB延长线上一点，且EF＝DF.

（1）求证：DF是☉O的切线；

（2）连接BC，BD，AD，若tan∠BCD＝12，DF＝3，求☉O的半径

第3题图

4.如图①，在平行四边形ABCD中，AC为对角线，AB＝AC，且△ABC内接于☉O.

（1）当BC为☉O直径时，求证：BC＝2AB；

（2）如图②，当CD与☉O相切时，求证：四边形ABCD是菱形；

（3）如图③，当CD与☉O相交于点E时，连接BE，交AC于点F，若EF·AB＝CE2，求∠D的度数.

第4题图

类型一与锐角三角函数结合

1.(1)证明：如解图，连接AC，

∵AB是☉O的直径，∴∠ACB＝90°，即AC⊥BC，

∵∠E＝∠ABC，∴AE＝AB，∴BC＝EC；

第1题解图

(2)解：∵∠DAB＝∠BCD，

∴tan∠DAB＝tan∠BCD＝247

∵AB是☉O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∴tan∠DAB＝BDAD＝24

设AD＝7x，则BD＝24x，

∴AB＝AD2＋B

∴由(1)知，AE＝AB＝25x，

∴DE＝AE＋AD＝25x＋7x＝32x，

∵CE＝20，

∴BE＝2CE＝40，

在Rt△BDE中，

∵BD2＋DE2＝BE2，

∴(24x)2＋(32x)2＝402，解得x＝1(负值已舍去)，

∴AB＝25x＝25，

∴☉O的半径为252

2.(1)证明：如解图，连接OA，

∵AC是∠BCD的平分线，

∴∠ACB＝∠ACD，

∴∠AOB＝∠AOD，

∵∠AOB＋∠AOD＝180°，

∴∠AOB＝∠AOD＝90°，

∵BD∥AE，

∴∠OAE＝∠AOD＝90°，