2024年梯形知识点样本.doc

梯形

一、知识梳理

1．梯形的定义：一组對边平行而另一组對边不平行的四边形叫做梯形．

2．特殊梯形的定义：（1）等腰梯形：两腰相等的梯形（2）直角梯形：一腰垂直于底的梯形．

3．等腰梯形的性质：

1）從角看：等腰梯形同一底上的两個内角相等；

2）從边看：等腰梯形两腰相等；

3）從對角线看：等腰梯形两条對角线相等．

4．等腰梯形的鉴定：

1）两条腰相等的梯形是等腰梯形．

2在同一底上的两個角相等的梯形是等腰梯形．

3）對角线相等的梯形是等腰梯形．

5.梯形的中位线：连接梯形两腰中點的线段叫做梯形的中位线.

6.梯形中位线的性质：梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底边和的二分之一.

二、梯形中的常用辅助线

在解（证）有关梯形的問題時，常常要添作辅助线，把梯形問題转化為三角形或平行四边形問題。本文举例談談梯形中的常用辅助线，以协助同學們更好地理解和运用。

一、平移

1、平移一腰：從梯形的一种顶點作一腰的平行线，把梯形转化為一种三角形和一种平行四边形。

［例1］如图1，梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值范围。

2、平移两腰：运用梯形中的某個特殊點，過此點作两腰的平行线，把两腰转化到同一种三角形中。

［例2］如图2，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分别是AD、BC的中點，连接EF，求EF的長。

3、平移對角线：過梯形的一种顶點作對角线的平行线，将已知条件转化到一种三角形中。

［例3］如图3，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，BC=7，BD=，求证：AC⊥BD。

【变式1】（平移對角线）已知梯形ABCD的面积是32，两底与高的和為16，假如其中一条對角线与两底垂直，则另一条對角线長為_____________

［例4］如图4，在梯形ABCD中，AD//BC，AC=15cm，BD=20cm，高DH=12cm，求梯形ABCD的面积。

二、延長

即延長两腰相交于一點，可使梯形转化為三角形。

［例5］如图5，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD的長。

【变式2】如图所示，四边形ABCD中，AD不平行于BC，AC＝BD，AD＝BC.判断四边形ABCD的形状，并证明你的結论.

【变式3】（延長两腰）如图，在梯形中，，，、為、的中點。

三、作對角线

即通過作對角线，使梯形转化為三角形。

［例6］如图6，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，BC=CD，BE⊥CD于點E，求证：AD=DE。

四、作梯形的高

1、作一条高，從底边的一种端點作另一条底边的垂线，把梯形转化為直角三角形或矩形。

［例7］如图7，在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC=90°，AB=2DC，對角线AC⊥BD，垂足為F，過點F作EF//AB，交AD于點E，求证：四边形ABFE是等腰梯形。

图7

2、作两条高：從同一底边的两個端點作另一条底边的垂线，把梯形转化為两個直角三角形和一种矩形。

［例8］如图8，在梯形ABCD中，AD為上底，ABCD，求证：BDAC。

【变式4】如图2-44所示．ABCD是梯形，AD∥BC，AD＜BC，AB=AC且AB⊥AC，BD=BC，AC，BD交于O.求∠BCD的度数．

【变式5】如图2-45所示．直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，∠ADC=135°，CD的垂直平分线交BC于N，交AB延長线于F，垂足為M．求证：AD=BF．

【变式6】例如图2-46所示．直角梯形ABCD中，∠C=90°，AD∥BC，AD+BC=AB，E是CD的中點．若AD=2，BC=8，求△ABE的面积．

【变式7】（過顶點作高）已知AB=BC，AB∥CD，∠D=90°，AE⊥BC．求证：CD=CE．

五、作中位线

1、已知梯形一腰中點，作梯形的中位线。

［例9］如图9，在梯形ABCD中，AB//DC，O是BC的中點，∠AOD=90°，求证：AB＋CD=AD。

2、已知梯形两条對角线的中點，连接梯形一顶點与一条對角线中點，并延長与底边相交，使問題转化為三角形中位线。

［例10］如图10，在梯形ABCD中，AD//BC，E、F分别是BD、AC的中點，求证：（1）EF//AD；（2）

【变式8】如图所示．等腰梯形ABCD中，AB∥CD，對角线AC，BD所成的角∠AOB=60°，P，Q，R分别是OA，BC，OD的中點．求证：△PQR是等边三角形．

【变式9】（過一腰中點作底边平行线——构造中位线）已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC的平分线過CD的中點E．

3、在梯形中出現一腰上的