柯西不等式与排序不等式.ppt

第三节柯西不等式与排序不等式1.二维形式的柯西不等式内容等号成立的条件代数形式若a,b,c,d∈R,则(a2+b2)(c2+d2)≥________当且仅当______时，等号成立向量形式设是两个向量，则||≤_________当且仅当___________或____________________时，等号成立三角形式设x1,y1,x2,y2∈R,那么_____________________当且仅当_______________________________________________________时，等号成立(ac+bd)2ad=bc是零向量存在实数k,使P1(x1,y1),P2(x2,y2),O(0,0)三点共线，且P1，P2在原点O两旁2.三维形式的柯西不等式设a1,a2,a3,b1,b2,b3∈R,则_______________.当且仅当__________或____________________________________时,等号成立.(a1b1+a2b2+a3b3)2b1=b2=b3=0存在一个数k,使得a1=kb1,a2=kb2,a3=kb33.一般形式的柯西不等式设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数,则_______________________,当且仅当__________________或_____________________________________时,等号成立.(a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn)2bi=0(i=1,2,3,…,n)存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,3,…,n)4.顺序和、乱序和、反序和的概念设a1≤a2≤a3≤…≤an，b1≤b2≤b3≤…≤bn为两组实数，c1,c2,…,cn是b1,b2，…，bn的任一排列，则称ai与bi(i=1,2,…,n)按相同顺序相乘所得积的和________________为顺序和，和________________为乱序和，按相反顺序相乘所得积的和_________________为反序和.a1b1+a2b2+…+anbna1c1+a2c2+…+ancna1bn+a2bn-1+…+anb15.排序不等式(排序原理)设a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1,c2,…,cn是b1,b2,…,bn的任一排列,则____________________≤___________________≤___________________，当且仅当a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时，反序和等于顺序和,此不等式简记为_______≤_______≤顺序和.a1bn+a2bn-1+…+anb1a1c1+a2c2+…+ancna1b1+a2b2+…+anbn反序和乱序和判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).(1)在二维形式的柯西不等式的代数形式中，取等号的条件可以是()(2)在三维形式的柯西不等式中等号成立的条件是()(3)顺序和与反序和可能相等.()(4)设，是两个向量，则|·|≤||||中等号成立的条件是存在实数k，使=k·.()【解析】(1)错误.当b，d=0时，柯西不等式成立，但不成立.(2)错误.当b1,b2,b3都为零时,不成立，但此时柯西不等式成立.(3)正确.当a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时，顺序和等于反序和.(4)错误.当=0时，|·|=||||.答案：(1)×(2)×(3)√(4)×考向1二维柯西不等式代数形式的应用【典例1】已知x+y=1,则2x2+3y2的最小值为________.【思路点拨】分析已知条件与待求代数式的关系设法凑出柯西不等式的结构特征，利用柯西不等式求解.【规范解答】2x2+3y2=(2x2+3y2)()·=≥=(x+y)2=当且仅当即2x=3y时等号成立，又x+y=1，即x=y=时，等号成立.答案：【拓展提升】正确理解柯西不等式(1)柯西不等式的几种形式都涉及对不等式的理解与记忆，因此，二维形式的柯西不等式可以理解为四个有顺序的数对应的一种不等关系，或构造成一个不等式，