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微专题06数列中的复杂递推式问题
【秒杀总结】
1、叠加法:;
2、叠乘法:;
3、构造法(等差,等比):
①形如(其中均为常数)的递推公式,,其中,构造,即是以为首项,为公比的等比数列.
②形如(其中均为常数,),可以在递推公式两边同除以,转化为型.
③形如,可通过取倒数转化为等差数列求通项.
4、取对数法:.
5、由和的关系求数列通项
(1)利用,化为.
(2)当不易消去,或消去后不易求,可先求,再由求.
6、数列求和:
(1)错位相减法:适用于一个等差数列和一个等比数列(公比不等于1)对应项相乘构成的数列求和型
(2)倒序相加法
(3)裂项相消法
常考题型
数列的通项公式
裂项方法
等差数列型
是公差为的等差数列
是公差为的等差数列
无理型
指数型
对数型
三角型
是公差为的等差数列
阶乘型
【典型例题】
例1.已知数列满足且,设,则的值是
A. B. C. D.
【解答】解:数列满足且,①
可得,
当时,可得,②
①②可得,
即,
则,,
可得,
则
,
故选:.
例2.已知数列的通项公式为,其前项和为,则在数列,,,中,有理数项的项数为
A.42 B.43 C.44 D.45
【解答】解:由题意,可知:
.
.
,,为有理项,
又下标3,8,15,的通项公式为,
,且,
解得:,
有理项的项数为.
故选:.
例3.对于,.
【解答】解:由已知中的等式:
;
;
由以上等式我们可以推出一个一般结论:
对于,.
故答案为:.
例4.设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为,则的值为.
【解答】解:由,得,,
曲线在处的切线方程为,
取,得,
,
则
.
故答案为:.
例5.在数1和2之间插入个正数,使得这个数构成递增等比数列,将这个数的乘积记为,令,.
(1)数列的通项公式为;
(2).
【解答】解:(1)设在数1和2之间插入个正数,使得这个数构成递增等比数列为,
则,,即,为此等比数列的公比.
,
,
故答案为:.
(2)由(1)可得,又,,
,.
,,
故答案为:.
例6.数列中,,若不等式恒成立,则实数的取值范围是.
【解答】解:,
,
即,又,
数列是以2为首项,1为公差的等差数列,
,
.
不等式化为:.
,当且仅当时取等号,
由,则当时,取最小,最小值为
,
故答案为:,.
【过关测试】
一、单选题
1.(2023·江西景德镇·统考模拟预测)斐波那契数列满足,,设,则(????)
A.2022 B.2023 C.2024 D.2025
【答案】C
【解析】因为,,
所以
,
所以.
故选:C
2.(2023·全国·模拟预测)1678年德国著名数学家莱布尼兹为了满足计算需要,发明了二进制,与二进制不同的是,六进制对于数论研究有较大帮助.例如在六进制下等于十进制的.若数列在十进制下满足,,,,则六进制转换成十进制后个位为(????)
A.2 B.4 C.6 D.8
【答案】B
【解析】由题意可知:,,,则,,,,,,所以6是数列的一个周期,又,则3是数列的一个周期,且,,,则六进制转换成十进制的,因为,则有共有674项,每一项的个位数字均为6,所以最终的个为数字为4,即六进制转换成十进制后个位为4.
故选:.
3.(2023秋·广东·高三统考期末)在数列中,,且,则的值为(????)
A.18 B.19 C.20 D.21
【答案】C
【解析】,且,
,
又
.故选:C.
4.(2023秋·江西·高三校联考期末)设,数列中,,,,则下列选项正确的是(????)
A.当,时,则
B.当,时,则
C.当,时,则
D.当,时,则
【答案】D
【解析】选项A:当,时,,,∴.数列的周期为,∴,故A不正确;
选项B:,时,即,所以数列是以1为首项,2为公差的等差数列,所以,∴,故选项B不正确;
选项C:当,时,即,所以数列是以1为首项,2为公比的等比数列,则,则选项C也不正确;
选项D:当,时,即,则有,
所以数列是以2为首项,2为公比的等比数列,
∴,∴则选项D正确,
故选:D
5.(2023·全国·高三专题练习)已知数列满足,且,,则(????)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由得:,数列为等差数列,
又,,数列的公差,
,,.
故选:C.
6.(2023·安徽淮南·统考一模)斐波那契数列因以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”.此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用,斐波那契数列可以用如下方法定义:,且,若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列,则数列的前2023项的和为(????)
A.2023 B.2024 C.2696 D.2697
【答案】D
【解析】因为,且,
所以数列为,
此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列为,是以6为周期的周期
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