微专题06 数列中的复杂递推式问题(解析版).docx

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微专题06数列中的复杂递推式问题

【秒杀总结】

1、叠加法:;

2、叠乘法:;

3、构造法(等差,等比):

①形如(其中均为常数)的递推公式,,其中,构造,即是以为首项,为公比的等比数列.

②形如(其中均为常数,),可以在递推公式两边同除以,转化为型.

③形如,可通过取倒数转化为等差数列求通项.

4、取对数法:.

5、由和的关系求数列通项

(1)利用,化为.

(2)当不易消去,或消去后不易求,可先求,再由求.

6、数列求和:

(1)错位相减法:适用于一个等差数列和一个等比数列(公比不等于1)对应项相乘构成的数列求和型

(2)倒序相加法

(3)裂项相消法

常考题型

数列的通项公式

裂项方法

等差数列型

是公差为的等差数列

是公差为的等差数列

无理型

指数型

对数型

三角型

是公差为的等差数列

阶乘型

【典型例题】

例1.已知数列满足且,设,则的值是

A. B. C. D.

【解答】解:数列满足且,①

可得,

当时,可得,②

①②可得,

即,

则,,

可得,

故选:.

例2.已知数列的通项公式为,其前项和为,则在数列,,,中,有理数项的项数为

A.42 B.43 C.44 D.45

【解答】解:由题意,可知:

,,为有理项,

又下标3,8,15,的通项公式为,

,且,

解得:,

有理项的项数为.

故选:.

例3.对于,.

【解答】解:由已知中的等式:

由以上等式我们可以推出一个一般结论:

对于,.

故答案为:.

例4.设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为,则的值为.

【解答】解:由,得,,

曲线在处的切线方程为,

取,得,

故答案为:.

例5.在数1和2之间插入个正数,使得这个数构成递增等比数列,将这个数的乘积记为,令,.

(1)数列的通项公式为;

(2).

【解答】解:(1)设在数1和2之间插入个正数,使得这个数构成递增等比数列为,

则,,即,为此等比数列的公比.

故答案为:.

(2)由(1)可得,又,,

,.

,,

故答案为:.

例6.数列中,,若不等式恒成立,则实数的取值范围是.

【解答】解:,

即,又,

数列是以2为首项,1为公差的等差数列,

不等式化为:.

,当且仅当时取等号,

由,则当时,取最小,最小值为

故答案为:,.

【过关测试】

一、单选题

1.(2023·江西景德镇·统考模拟预测)斐波那契数列满足,,设,则(????)

A.2022 B.2023 C.2024 D.2025

【答案】C

【解析】因为,,

所以

所以.

故选:C

2.(2023·全国·模拟预测)1678年德国著名数学家莱布尼兹为了满足计算需要,发明了二进制,与二进制不同的是,六进制对于数论研究有较大帮助.例如在六进制下等于十进制的.若数列在十进制下满足,,,,则六进制转换成十进制后个位为(????)

A.2 B.4 C.6 D.8

【答案】B

【解析】由题意可知:,,,则,,,,,,所以6是数列的一个周期,又,则3是数列的一个周期,且,,,则六进制转换成十进制的,因为,则有共有674项,每一项的个位数字均为6,所以最终的个为数字为4,即六进制转换成十进制后个位为4.

故选:.

3.(2023秋·广东·高三统考期末)在数列中,,且,则的值为(????)

A.18 B.19 C.20 D.21

【答案】C

【解析】,且,

.故选:C.

4.(2023秋·江西·高三校联考期末)设,数列中,,,,则下列选项正确的是(????)

A.当,时,则

B.当,时,则

C.当,时,则

D.当,时,则

【答案】D

【解析】选项A:当,时,,,∴.数列的周期为,∴,故A不正确;

选项B:,时,即,所以数列是以1为首项,2为公差的等差数列,所以,∴,故选项B不正确;

选项C:当,时,即,所以数列是以1为首项,2为公比的等比数列,则,则选项C也不正确;

选项D:当,时,即,则有,

所以数列是以2为首项,2为公比的等比数列,

∴,∴则选项D正确,

故选:D

5.(2023·全国·高三专题练习)已知数列满足,且,,则(????)

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】由得:,数列为等差数列,

又,,数列的公差,

,,.

故选:C.

6.(2023·安徽淮南·统考一模)斐波那契数列因以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”.此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用,斐波那契数列可以用如下方法定义:,且,若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列,则数列的前2023项的和为(????)

A.2023 B.2024 C.2696 D.2697

【答案】D

【解析】因为,且,

所以数列为,

此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列为,是以6为周期的周期

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