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排队模型

一1.一般的排队过程为：顾客由顾客源出发，到达服务机

构（服务台、服务员）前，按排队规则排队等待接受服务，

服务机构按服务规则给顾客服务，顾客接受完服务后就离

开。排队过程的一般过程可用下图表示。我们所说的排队系

统就是指图中方框所包括的部分:

顾客到来顾客离去

顾客源排队服务机构

排队规则服务规则

在现实生活中的排队现象是多种多样的，对上面所说的“顾

客”和“服务员”要作广泛的理解。它们可以是人，也可以是

某种物质或设备。排队可以是有形的，也可以是无形的。

尽管排队系统是多种多样的，但从决定排队系统进程的因素

来看，它有三个基本的组成部分，这就是输入过程、排队规

则及服务机构.

1)输入过程：描述顾客来源以及顾客到达排队系统的规律。

包括：

顾客源中顾客的数量是有限还是无限；

顾客到达的方式是单个到达还是成批到达；

顾客相继到达的间隔时间分布是确定型的还是随机型

的，分布参数是什么，是否独立，是否平稳。

2)排队规则：描述顾客排队等待的队列和接受服务的次序。

包括：

即时制还是等待制；

等待制下队列的情况（是单列还是多列，顾客能不能中

途退出，多列时各列间的顾客能不能相互转移）；

等待制下顾客接受服务的次序（先到先服务，后到先服

务，随机服务，有优先权的服务）。

3)服务机构：描述服务台(员)的机构形式和工作情况。包括：

服务台（员）的数目和排列情况；

服务台（员）的服务方式；

服务时间是确定型的还是随机型的，分布参数是什么，

是否独立，是否平稳。

2.到达和服务过程的模型

2.1到达过程的模型

t

用表示第i个顾客到达的时间,.

i

称Tt=−t为第i个到达时间间隔.

ii+1i

我们用T,T,的特征来刻画顾客到达过程.最常见的

12

情况是T,T,独立同分布.用X表示这样的随机变量.

12

如果X服从参数为λ的指数分布.这时

1

E(T)E(X)

i

λ

1

即平均每隔来一个顾客.换句话说,单位时间理平均有λ个

λ

顾客到来.称λ为到达速率.

用N(t)表示到时刻t为止到达的顾客总数,则在上面的

假设下N(t)∼P(λt).

除了指数分布外,常用的还有爱尔朗分布,其密度函数为

R(Rx)k−1e−Rx

f(x),x=≥0.

(k−1)!

kk

这时E(T),D(T).

ii2

RR

k叫形状参数,R叫速率参数.

当取λ使得Rkλ,则爱尔朗分布可以看成是k个独立的服

从参数为λ的指数分布随机变量的和的分布.

2.2服务过程的模型

一般总是认为不同顾客接受服务占用的时间长短是相互独

立的.用Y表示一个客户接受服务的时间长短,它是一个随

机变量.

若Y的分布是参数为μ的指数分布,