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专题11勾股定理中的蕴含数学思想的典型试题（原卷版）

第一部分典例剖析

类型一方程思想

（1）单勾股列方程

1．（2022•泰兴市期末）如图，某渡船从点B处沿着与河岸垂直的路线AB横渡，由于受水流的影响，实

际沿着BC航行，上岸地点C与欲到达地点A相距70米，结果发现BC比河宽AB多10米，求该河的宽

度AB．（两岸可近似看作平行）

2．（2021春•全南县期中）小明将一副三角板如图所示摆放在一起，发现只要知道其中一边的长就可以求出

其它各边的长，若已知CD＝3，求AC的长．

3．（2022•运城期末）如图，∠=90°，OA＝18cm，OB＝6cm，一机器人在点B处看见一个小球从点

A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处

截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？

二、双勾股方程

4．（2022•仪征市期中）我们规定：三角形任意一条边的“线高差”等于这条边与这条边上高的差．如图

1，△ABC中，CD为BA边上高，边BA的“线高差”等于BA﹣CD，记为h（BA）．

（1）如图2，若△ABC中AB＝AC，AD⊥BC垂足为D，AD＝6，BD＝4，则h（BC）＝；

（2）若△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，则h（AC）＝；

（3）如图3，△ABC中，AB＝21，AC＝20，BC＝13，求h（AB）的值．

5．（2020•金台区校级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E，F在边AB上，将边AC沿CE翻

折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，

（1）求∠ECF的度数；

（2）若CE＝4，B′F＝1，求线段BC的长和△ABC的面积．

6．如图①，现有一张三角形ABC纸片，沿BC边上的高AE所在的直线翻折，使得点C与BC边上的点D

重合．

（1）填空：△ADC是三角形；

（2）若AB＝15，AC＝13，BC＝14，求BC边上的高AE的长；

（3）如图②，若∠DAC＝90°，试猜想：BC、BD、AE之间的数量关系，并加以证明．

类型二数形结合思想

7．（2022•锡山区）如图，数轴上点A，B分别对应2，4，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半

径画弧，交PQ于点C；以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是（）

A．42B．25C．5D．32

8．（2022春•雁塔区校级期末）为比较13+6与13+6的大小，小亮进行了如下分析后作一个直角三角

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形，使其两直角边的长分别为13与6，则由勾股定理可求得其斜边长为(13)+(6)=13+6．根

据“三角形三边关系”，可得13+6＞13+6．小亮的这一做法体现的数学思想是（）

A．分类讨论思想B．方程思想

C．类比思想D．数形结合思想

9．（2019•海州区校级月考）数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方

法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用．

（1）探究2+2的几何意义：如图①，在直角坐标系中，设点M的坐标为（x，y），过M作MP⊥x

轴于P，作MQ⊥y轴于Q，则P点坐标为（x，0），Q点坐标为（0，y），即