专题10勾股定理中的翻折模型(原卷版+解析).docxVIP

专题10勾股定理中的翻折模型

翻折问题属于图形变换中的实际问题，也是近些年中考试卷出题老师青睐的题型。在解决翻折问题的有关的题目中，要注意隐含的已知条件比较多。比如翻折前后的图形全等，这样就好出现相等的线段和相等的角；因为大部分翻折问题是对矩形进行翻折，所以翻折后由于线段交错，出现的直角三角形也引起注意；因为翻折问题本身是轴对称的问题，所以翻折前后对应点所连线段会被折痕所在直线垂直平分；折痕还会平分翻折所形成的的两个角。总之，翻折问题并不复杂，只要要把隐含已知条件熟记于心，再结合其他有关知识就能让此类问题迎刃而解了。

【知识储备】

勾股定理在有关图形折叠计算的问题中的共同方法是：在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一未知数为x，将此三角形中的三边长用具体数或含x的代数式表示，再利用勾股定理列出方程，从而得出要求的线段的长度。

模型1.折痕过对角线模型

【模型解读】沿着矩形的对角线所在直线进行翻折。

已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠ABC，点B的对应点为B’.

结论1：≌；

结论2：折痕AC垂直平方BB’；

结论3：AEC是等腰三角形。

例1．（2023春·上海宝山·八年级统考期末）已知矩形，把矩形沿直线翻折，点A落在点E处，如果的长度等于该矩形的一条边长，那么．

例2．（2023·河南平顶山·八年级校考期中）如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于点E．若AB＝4，BC＝8，则图中阴影部分的面积为（）

A．8 B．10 C．12.5 D．7.5

例3．（2023春·安徽亳州·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中有一矩形ABCD，其中A（0，0），B（8，0），D（0，4），若将△ABC沿AC所在直线翻折，点B落在点E处．则E点的坐标是．

模型2.折痕过一顶点模型

【模型解读】沿着矩形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。

已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’.

折在矩形内

结论1：≌；

结论2：折痕AC垂直平方BB’。

折在矩形边上

结论1：≌；

结论2：折痕AC垂直平方BB’。

折在矩形外

结论1：四边形≌四边形；

结论2：折痕AC垂直平方BB’；

结论3：AEF是等腰三角形。

例1．（2022秋·广东深圳·八年级校考期中）如图，在矩形纸片中，，，点在上，将沿折叠，使点落在对角线上的点处，则的长为（）

A． B． C． D．

例2．（2022秋·江苏扬州·八年级校联考期中）如图，矩形边沿折痕折叠，使点落在上的处，已知，的面积为，则等于（??）

A． B． C． D．

例3．（2023春·江苏八年级课时练习）如图，矩形中，，，点为上一个动点，把沿折叠，当点的对应点落在的角平分线上时，的长为______．

例4．（2023春·江苏·八年级期中）在四边形中，，，，P为射线上一点，将沿直线翻折至的位置，使点B落在点E处．

(1)若P为上一点．①如图1，当点E落在边上时，求的长；

②如图2，连接，若，则与有何数量关系？请说明理由；

(2)如果点P在的延长线上，当为直角三角形时，求的长．

例5．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图所示，在长方形ABCD中，AB＝2，在线段BC上取一点E，连接AE、ED，将ABE沿AE翻折，点B落在点处，线段E交AD于点F．将ECD沿DE翻折，点C的对应恰好落在线段上，且点为的中点，则线段EF的长为（）

A．3 B． C．4 D．

模型3.折痕任意两点模型

【模型解读】沿着矩形边上的任意两点所在直线进行翻折。

已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’.

折在矩形内

结论1：≌；

结论2：折痕EF垂直平方BB’。

折在矩形边上

结论1：四边形≌四边形；

结论2：折痕AC垂直平方BB’。

折在矩形外

结论1：四边形≌四边形；

结论2：折痕AC垂直平方BB’；

结论3：GC’F是直角三角形。

例1．（2023春·重庆八年级课时练习）如图，在矩形中，，，是边上的中点，是边上的一动点．连接，将沿折叠，点的对应点为点，连接．当为直角三角形时，的长为________．

例2．（2023秋·广东·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，，E是上一个动点，F是上一点（点F不与点D重合）．连接，将沿翻折，使点A的对应点落在边上，连接，若，则的面积为．

??

例3．（2023春·江苏·八年级阶段练习）如图，把矩形ABCD沿EF折叠，使点C落在点A处，点D落在点G处，若CD＝2，AD＝3，则边AE的长为_____．

例4．（2022春·四川雅安·九年级专题练习）如图，把矩形沿翻折，点B恰好落在边的处，若，，则．

例5．（2023春·湖北武汉·八年