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漫谈数学分析的学习

我读的第一套数学分析教材是北京大学数学系自编教材《数学分析》（方企勤、沈

燮昌、廖可人、李正元编写）【1】。这套教材的优点是叙述严谨、覆盖面广，风

格上沿袭扎实冷峻的俄式风范，对学生的训练比较充分。缺点是写得太严谨，有时

稍显直观不足，尤其是第三卷讲述高维空间的积分理论时，没有及时引入微分流

形的语言，使积分的处理显得琐碎繁杂。但总体说来，这是一套值得精读的教材，

能够帮助大学生打下坚实的基础。

与这套教材配套的习题集，最早是北大数学系自编的一套习题集：《数学分析习题

集》（林源渠、方企勤、李正元、廖可人编著）【2】。这套习题的好处是比较精

炼，所收习题主要依据北大数学系数学分析习题课资料编撰，也吸收了专门化课中

遇到的数学分析问题以及1983年前的历届研究生考试的部分试题。我个人体会，

这套习题对于磨练大学生的精细思维以及与分析相关的几何直观颇有裨益，值得全

做。

数学分析习题集中，在中国比较有名的是《吉米多维奇数学分析习题集》。这套

习题集后来也出了完整的习题解答：《数学分析习题集题解》（吉米多维奇著，费

定晖、周学圣编演，郭大钧、邵品琮主审）【3】。个人感觉这套习题集有不少题

目过于重复，尤其是关于计算方面的题目太多，似乎更适合工程物理类大学生使

用，对于数学专业的人来说则有些过时。我大学时代利用课余时间研读这套习题

集，前后花了近两年的时间才把习题逐一做完，费时太长而不利于拓宽视野、尽快

掌握现代数学的全貌。所以从个人经验出发，我建议现在的大学生只把这套习题作

为一个参考，可精研其中的证明题，对计算题则挑选代表性题目练手即可。至于培

养分析直观和逻辑严密性，一本非常有用的经典参考书是《分析中的反例》（盖尔

鲍姆、奥姆斯特德著，高枚译）【4】。

北大数学系的这套教材成书于1986年。由于数学分析这门课程已经比较成熟，科

研上并无什么新突破，所以年代久远并不是问题，但就易读易懂性而言，还是有可

以改进之处的。出于这一考虑，我在此向大学生们推荐另外一套北大的教材，张筑

生先生所著三卷本《数学分析新讲》【5】。有一位网友是如此评价他对该书的印

象的：

“所谓‘新讲’就是把所有不相关的细枝末节统统删除，只用最精炼的语言讲述最

核心的思想；用最简明的表达式传递最根本的解题方法和技巧；从最低的起点出

发，用了最少的预备知识，构建了微积分这座大厦。”

我大体同意这位网友的观点：张先生的这本书和他的《微分拓扑讲义》一样，讲究

最直观自然的处理方式，而非最精巧的阐述方式；大多数中文数学分析教材只是材

料的生硬堆砌，而张先生的书则可说是水乳交融的有机整体。从材料的组织和问题

的分析解构，读者可以隐约体会到独立做科研的脉络和范式（paradigm）——不追

求依赖于个人聪明才智的奇技淫巧，而力图阐述做学问的一般性规律，让资质中等

以上的普通人也能学会分析的思考模式，我认为是这本书最大的优点。

除此之外，书中的某些结果也作了较精细的处理。例如其中对泰勒展开各种余项的

阐释，就为后面数值分析的学习铺平了道路。我个人还感觉张先生在该书的章节处

理上煞费苦心，就好象他亲自把前方道路来来回回仔细走了几遍、并在关键节点上

逐一插上了标识一样，对读者什么时候会感到心理疲劳，作了非常仔细精准的分析

判断。这一点和美国数学家、沃尔夫奖得主彼得·拉克斯（PeterLax）的《泛函分

析》【6】一书很有些相似。

和张先生的这套教材配套的习题集，是林源渠、方企勤编写的《数学分析解题指

南》一书【7】。这本书我并未读过，但二位先生编写教材的经验和功力已有前文

提及的教材和习题集以为佐证，再加上该书序言中专门提及它特别适合于作为《新

讲》的配套辅导教材使用，所以我特此推荐一番。

或许有同学担心《新讲》和86版的《数学分析》教材覆盖内容有所不同。实际上

86版教材涉及的内容在《新讲》中都有详尽阐述。唯一不同的，就是后者可能更

切合大学生学习数学分析的心理历程，更直观易懂而已，我对此举一个例子。一位

朋友本科就读于清华大学，曾参加过理科试验班（具体的名目已经忘了，大概就是

加强包括数学在内的基础科学的训练），所使用的数学分析教材就是《数学分析新

讲》。当时他的一位同学看完《新讲》之后意犹未尽，想看看北大数学系科班出身

的都使用什么教材，于是找来86版老教材研读。不料读完之后却身心俱疲，对数

学分析彻底失去了兴趣，虽然这两套教材覆盖的内容几乎一模一样。

我大学期间读过的第三本数学分析教材是斯皮瓦克的《流形上的微积分：高等微积

分中一些经典定