计算力学(有限单元法)第四章重点整理.docVIP

第四章

一、杆单元

平面杆单元〔轴力〕

1)位移函数：

2〕形函数：〔拉格朗日多项式〕

那么

3〕单元应变和应力：〔设〕

，

4〕单元刚度矩阵：

5〕单元等效节点力：

二、梁单元

不考虑剪切变形的平面梁单元

弯剪平面梁单元〔仅有位移是独立的，其中〕

位移函数：

形函数：〔Hermite插值函数解得〕

那么

单元应力和应变：

单元刚度矩阵：

考虑轴向变形后：

单元等效节点力：

，其中

弯剪扭平面梁单元〔截面形心和扭心重合时，弯曲和扭转是相互独立的〕

根本位移未知量：

等效节点力:

单元刚度矩阵：〔见上册书P98〕

考虑剪切变形的平面梁单元

位移函数：

〔弯曲变形引起的挠度〕

〔剪切变形引起的挠度〕

形函数：和

那么，

单元应力和应变：

单元刚度矩阵：

,

由几何关系可得整体刚度矩阵：

其中

Timoshenko梁单元〔截面转角与挠度独立变化〕

几何关系：

形函数：

单元应力与应变：

单元刚度矩阵：

等效节点荷载：

，其中

三、坐标变换

1、坐标变换矩阵：把单元位移从结构整体坐标转换单元坐标系的变换矩阵—

平面单元

1〕平面铰接杆单元与弯剪平面梁单元〔连续梁〕

2〕轴剪弯平面梁单元〔刚架〕与面外弯剪扭平面梁单元

空间单元

空间杆单元

，其中坐标系的旋转矩阵

〔代表单元坐标轴在整体坐标系中的方向余弦〕

〔单位长度〕

空间梁单元

，其中坐标系的旋转矩阵

注：在主惯性平面上任取一参考点

四、梁端自由度释放

原刚度矩阵

释放自由度后的刚度矩阵

五、带刚域的梁

单元刚度矩阵：

其中