专题10胡不归问题-【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（全国通用）（原卷版）.pdfVIP

【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案

专题9胡不归（PA+kPB）型最短问题

解题策略

“PA＋k·PB”型的最值问题，当k＝1时通常为轴对称之最短路径问题，而当k0时，若以常规的轴对称

的方式解决，则无法进行，因此必须转换思路．

1.当点P在直线上

如图，直线BM，BN交于点B，P为BM上的动点，点A在射线BM，BN同侧，已知sin∠MBN＝k．

过点A作AC⊥BN于点C，交BM于点P，此时PA＋k·PB取最小值，最小值即为AC的长．

AA

MM

PQP

BNBN

CDC

证明如图，在BM上任取一点Q，连结AQ，作QD⊥BN于点D．

由sin∠MBN＝k，可得QD＝k·QB．

所以QA＋k·QB＝QA＋QD≥AC，即得证．

2．当点P在圆上

如图，⊙O的半径为r，点A，B都在⊙O外，P为⊙O上的动点，已知r＝k·OB．

在OB上取一点C，使得OC＝k·r，连结AC交⊙O于点P，此时PA＋k·PB取最小值，最小值即为AC的

长．

AA

P

P

Q

BOBO

CC

证明如图，在⊙O上任取一点Q，连结AQ，BQ，连结CQ，OQ．

则OC＝k·OQ，OQ＝k·OB．

而∠COQ＝∠QOB，所以△COQ∽△QOB，

所以QC＝k·QB．

所以QA＋k·QB＝QA＋QC≥AC，即得证．

经典例题

12021··yax2bxc

【例】（全国九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数＝＋＋的图象经过点

A10B0−C20xD

（﹣，），（，3），（，），其对称轴与轴交于点．

1

（）求二次函数的表达式及其顶点坐标；

2MNABMN

（）点为抛物线的对称轴上的一个动点，若平面内存在点，使得以，，，为顶点的四边形为

菱形，求点M的坐标；

1

3PyPDPBPD

（）若为轴上的一个动点，连接，求＋的最小值．

2

22022··ABCDEFADBECF

【例】（重庆八年级期末）已知，在正方形中，点，分别为