专题03全等模型-手拉手模型(原卷版+解析)2.docxVIP

专题03全等模型-手拉手模型

全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（手拉手（旋转）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.手拉手模型（三角形）

【模型解读】

将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。

公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。

对应操作：左手拉左手（即连结BD），右手拉右手（即连结CE），得。

【常见模型及证法】

（等边）

（等腰直角）

（等腰）

例1．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，．(1)求证：；(2)连接，若，求的度数．

例2．（2022秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）如图，在边长为8的等边△ABC中，点D是AB的中点，点E是平面上△ABC外一点，且DE=2，连接BE，将线段EB绕点E顺时针旋转60°得到线段EF，连接AF，CE．??(1)判断△BEF的形状，并说明理由；(2)求证：AF=CE；(3)当点D，E，F在同一直线上时，请你在备用图中画出符合条件的图形，并求出此时BE的长．

备用图

例3．（2022·吉林·九年级期末）如图①，在中，，，点，分别在边，上，且，此时，成立．（1）将绕点逆时针旋转时，在图②中补充图形，并直接写出的长度；（2）当绕点逆时针旋转一周的过程中，与的数量关系和位置关系是否仍然成立？若成立，请你利用图③证明，若不成立请说明理由；（3）将绕点逆时针旋转一周的过程中，当，，三点在同一条直线上时，请直接写出的长度．

例4．（2022·黑龙江·虎林市九年级期末）已知Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB＝90°，F为AB边的中点，且DF=EF，∠DFE＝90°，D是BC上一个动点．如图1，当D与C重合时，易证：CD2＋DB2＝2DF2；

（1）当D不与C、B重合时，如图2，CD、DB、DF有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明．

（2）当D在BC的延长线上时，如图3，CD、DB、DF有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并加以证明．

例5．（2022·山西大同·九年级期中）综合与实践：已知是等腰三角形，．

（1）特殊情形：如图1，当∥时，______．（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）发现结论：若将图1中的绕点顺时针旋转（）到图2所示的位置，则（1）中的结论还成立吗？请说明理由．（3）拓展运用：某学习小组在解答问题：“如图3，点是等腰直角三角形内一点，，且，，，求的度数”时，小明发现可以利用旋转的知识，将绕点顺时针旋转90°得到，连接，构造新图形解决问题．请你根据小明的发现直接写出的度数．

模型2.手拉手模型（正多边形型）

【模型解读】将两个多边形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个多边形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。

【常见模型及证法】

如图，在任意△ABC中，分别以AB、AC为边作正方形ABDE、ACFG，连接EC、BG，则△AEC≌△ABG.

例1．（2023春·浙江·八年级专题练习）边长为4的正方形ABCD与边长为2的正方形CEFG如图1摆放，将正方形CEFG绕点C顺时针旋转，旋转角为α，连接BG，DE．

（1）如图2，求证：△BCG≌△DCE；

（2）如图2，连接DG，BE，判断DG2+BE2否为定值．若是，求这个定值若不是，说明理由；

（3）如图3，当点G恰好落在DE上时，求α的值．

例2．（2023·河南鹤壁市八年级月考）（1）作图发现：如图1，已知，小涵同学以、为边向外作等边和等边，连接，．这时他发现与的数量关系是．

（2）拓展探究：如图2，已知，小涵同学以、为边向外作正方形和正方形，连接，，试判断与之间的数量关系，并说明理由．

例3．（2023·福建福州市·九年级月考）如图，和均为等边三角形，连接BE、CD．

（1）请判断：线段BE与CD的大小关系是；

（2）观察图，当和分别绕点A旋转时，BE、CD之间的大小关系是否会改变?

（3）观察如图和4，若四边形ABCD、DEFG都是正方形,猜想类似的结论是___________,在如图中证明你的猜想.

（4）这些结论可否推广到任意正多边形（不必证明）,如图,BB1与EE1的关系是;它们分别在哪两个全等三角形中;请在如图中标出较小的正六边形AB1C1D1E1F1的另五个顶点，连接图中哪两个顶点,能构造出两个全等三角形？

例4．（2023·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图1，图2，图3，在中，分别