机工测-答案(重庆大学).docxVIP

2-3．求正弦信号的均方值。

解：

也可先求概率密度函数：则：。

2-4．求正弦信号的概率密度函数p(x)。

解：

tx

t

x

T1

-T1

T

-T

2-5．求如下图所示周期性方波的复指数形式的幅值谱和相位谱

解在x(t)的一个周期中可表示为

该信号基本周期为T，基频?0=2?/T，对信号进行傅里叶复指数展开。由于x(t)关于t=0对称，我们可以方便地选取-T/2≤t≤T/2作为计算区间。计算各傅里叶序列系数cn

当n=0时，常值分量c0：

当n?0时，

最后可得

注意上式中的括号中的项即sin(n?0T1)的欧拉公式展开，因此，傅里叶序列系数cn可表示为

其幅值谱为：，相位谱为：。频谱图如下：

2-6．设cn为周期信号x(t)的傅里叶级数序列系数，证明傅里叶级数的时移特性。

即：若有

则

证明：若x(t)发生时移t0（周期T保持不变），即信号x(t-t0)，则其对应的傅立叶系数为

令，代入上式可得

因此有

同理可证

证毕！

2-7．求周期性方波的（题图2-5）的幅值谱密度

解：周期矩形脉冲信号的傅里叶系数

则根据式，周期矩形脉冲信号的傅里叶变换，有

此式表明，周期矩形脉冲信号的傅里叶变换是一个离散脉冲序列，集中于基频以及所有谐频处，其脉冲强度为被的函数所加权。与傅里叶级数展开得到的幅值谱之区别在于，各谐频点不是有限值，而是无穷大的脉冲，这正表明了傅里叶变换所得到的是幅值谱密度。

2-10．求指数衰减振荡信号的频谱。

解：

2-11．设X(f)为周期信号x(t)的频谱，证明傅里叶变换的频移特性

即：若

则

证明：因为

又因为

证毕！

2-17．已知信号x(t)试求信号x(0.5t)，x(2t)的傅里叶变换

解：由例可知x(t)的傅里叶变换为

根据傅里叶变换的比例特性可得

如图2-32所示,由图可看出，时间尺度展宽(a1.0)将导致其频谱频带变窄,且向低频端移动,这种情况为我们提高设备的频率分析范围创造了条件,但是以延长分析时间为代价的;反之,时间尺度压缩(a1.0)会导致其频谱频带变宽,且向高频端扩展,这种情况为我们提高信号分析速度提供了可能。

11

1

1

题图2-17时间尺度展缩特性示意图

2-20．下面的信号是周期的吗？若是，请指明其周期。

（1）（30）

（2）（12）

（3）（）

（4）（8）

1、余弦信号被矩形脉冲调幅，其数学表达式为

试求其频谱

解：设

其中

5-2.模数转换器的输入电压为0～10V。为了能识别2mV的微小信号，量化器的位数应当是多少？若要能识别1mV的信号，量化器的位数又应当是多少？

解:

设量化装置的位数为m。

若要识别2mV的信号，则

，得

若要识别1mV的信号，则

，得

5-3.模数转换时，采样间隔分别取1ms，0.5ms，0.25ms和0.125ms。按照采样定理，要求抗频混滤波器的上截止频率分别设定为多少Hz（设滤波器为理想低通）？

解:

采样间隔取1ms，0.5ms，0.25ms和0.125ms，分别对应的采样频率为1000Hz，2000Hz，4000Hz和8000Hz。根据采样定理，信号的带宽应小于等于相应采样频率的一半。所以，抗频混滤波器（理想低通滤波器）的上截止频率应分别设为为500Hz，1000Hz，2000Hz，4000Hz。

5-5．某信号的幅值频谱如下图。试画出当采样频率fs分别为1)2500Hz，2)2200Hz，3)1500Hz时离散信号在0～fN之间的幅值频谱。

f

fHz

0

200

800

1200

A(f)

2

2.80

1.80

题图5-5

解原理同题4

1)当fs=2500Hz时，fN=1250Hz，大于信号的最高频率，满足采样定理。离散信号的频谱在0～fN的频率范围内与原信号的频谱相同。

f

fHz

0

200

800

1200

A(f)

2

2.80

1.80

f

fN=1250Hz

2)当fs=2200Hz时，fN=1100Hz，小于信号的最高频率，不满足采样定理。原信号中，高于奈魁斯特频率fN的1200Hz的谱线以fN为界向低频方向折叠，变为1000Hz,产生频混。此时离散信号的频谱如下：

f

fHz

0

200

800

1000

A(f)

2

2.80

1.80

fN＝1100Hz

3)当fs=1500Hz时，fN=750Hz，小于信号的最高频率，不满足采样定理。原信号中，高于奈魁斯特频率fN的800Hz和1200Hz的谱线以fN为界向低频方向折叠，分别变为700