专题9二次函数与圆综合问题-挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（解析版）.pdfVIP

挑战2022年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘

专题9二次函数与圆综合问题

解决函数与圆的综合问题的关键是找准函数与圆的结合点，弄清题目的本质，利用圆的基本性质和函数

的性质、数形结合、方程思想、全等与相似，以便找到对应的解题途径.常见的考法有：

1.直线与圆的位置关系：

平面直角坐标系中的直线与圆的位置关系问题关键是圆心到直线的距离等于半径的大小，常用的方法有：

（1）利用圆心到直线的距离等于半径的大小这一数量关系列出关系式解决问题

（2）利用勾股定理解决问题

（3）利用相似列出比例式解决问题

2.函数与圆的新定义题目：利用已掌握的知识和方法理解新定义，化生为熟

3.函数与圆的性质综合类问题：利用几何性质，结合图形，找到问题中的“不变”关键因素和“临界位

置”.

2

【例1】【例1】（2021•花都区三模）如图，抛物线y＝ax+bx+2经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y

轴交于点C．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在y轴上是否存在点P使得∠OBP+∠OBC＝45°，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明

理由；

（3）点M是BC为直径的圆上的动点，将点M绕原点O顺时针旋转90°得点N，连接NA，求NA的

取值范围．

2

【分析】（1）将点A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax+bx+2即可求解析式；

（2）过点P作PH⊥BC交于点H，设P（0，t），CH＝x，由已知分别可求BC＝2，BH＝2﹣x，

HP＝BH＝2﹣x，在Rt△CPH中，sin∠PCH＝＝＝，cos∠PCH＝＝＝

，求出t＝﹣，则P（0，﹣），与x轴对称点为（0，），此点也满足所求；

（3）当M点在B点处时，N点在F（0，﹣4）处，当M点在O点处时，N点在E（2，0）处，∠EOF＝

90°，EF＝BC＝2，可以判断N点在以EF为直径的圆上运动，连接OO，O（1，﹣2），NA有最大

值和最小值，OA＝2，则可求NA最大值为2+，NA最小值为2﹣，进而求得2﹣

≤NA≤2+．

2

【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax+bx+2，得

，

解得，

2

∴y＝﹣x+x+2；

（2）过点P作PH⊥BC交于点H，

设P（0，t），CH＝x，

∵C（0，2），B（4，0），

∴BC＝2，

∴BH＝2﹣x，

∵∠OBP+∠OBC＝45°，

∴∠CBP＝45°，

∴HP＝BH＝2﹣x，

在Rt△CPH中，sin∠PCH＝＝，cos∠PCH＝＝，

在Rt△BOC中，sin∠PCH＝，cos∠PCH＝，

∴＝，＝，

∴x＝，t＝﹣，

∴P（0，﹣），

P点关于x轴对称点为（0，），此点也满足∠OBP+∠OBC＝45°，

∴满足条件的P点坐标为（0，﹣）或（0，）；

（3）当M点在B点处时，N点在F（0，﹣4）处，当M点在C点处时，N点在E（2，0）处，

∵∠EOF＝90°，EF＝BC＝2，可以判断N点在以EF为直径的圆上运动，连接