2.2 基本不等式（第一课时）课件(共16张PPT).pptxVIP

2.2基本不等式

（第一课时）教学目标：1.推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义.2.会用基本不等式解决简单问题.教学重点：准确熟练运用基本不等式教学难点：将问题转化为基本不等式解决

复习引入性质别名性质内容注意1对称性ab?ab?2传递性ab，bc?ac?3可加性ab?a＋cb＋c?4可乘性ab，c0?acbc；ab，c0?acbcc的符号5同向可加性ab，cd?a＋cb＋d同向6同向同正可乘性ab0，cd0?acbd同向同正7可乘方性ab0?anbn(n∈N*，n≥2)8可开方性ab0?(n∈N*，n≥2)

探索新知重要不等式:?a,b∈R，有a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时，等号成立）思考如果a0,b0,我们用分别代替上式中的a,b,可以等到什么的结果？?a,b∈R，有a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时，等号成立）

探索新知可以得到：通常把上式写作：通常称上述不等式为基本不等式．其中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．↑算术平均值↑几何平均值代数解释：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

思考我们如何来证明基本不等式呢？证明：（当且仅当a=b时，等号成立）方法一（作差法）证明：

思考除了可以用作差法证明，我们还可以用其它方法吗？下面我们来分析一下。方法二显然，（3）成立，当且仅当a=b时，等号成立。这是一种执果索因的证明方法，叫做分析法。只要把上述过程倒过来，就是我们熟悉的方法了。

思考除了可以用作差法证明，我们还可以用其它方法吗？下面我们来分析一下。方法三（综合法）当且仅当a=b时，等号成立。

探索如图,AB是圆的直径，C是AB上任一点，AC=a,CB=b,过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD,BD,你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释？如图，可证△ACD∽△DCB，则CD=，半径为，圆的半径大于或等于CD，用不等式表示为，当且仅当点C与圆心重合，即当a＝b时，上述不等式的等号成立．几何解释：在同一圆中，圆的半径不小于半弦。还有其它的解释吗

例题精讲例1.已知x0，求的最小值思考

例题精讲例2.已知a，b都是正数，满足a+b=18，求ab的最大值.当且仅当a=b=9时，等号成立因此所求最大值为81.思考：你能从例1和例2中得出怎样的结论？积定和最小，和定积最大利用不等式应注意哪些条件？一正二定三相等

课堂练习已知x，y都是正数，且x≠y，求证：

课堂练习已知x，y都是正数，且x≠y，求证：

例题精讲例3.已知x，y都是正数，求证：（1）若xy等于定值P，那么当x=y时，x+y取得最小值；(2)若x+y等于定值S，那么当x=y时，xy取得最大值.

例题精讲例3.已知x，y都是正数，求证：（1）若xy等于定值P，那么当x=y时，x+y取得最小值；(2)若x+y等于定值S，那么当x=y时，xy取得最大值.

课堂总结基本不等式：利用基本不等式求最值时，需满足:（1）a，b必须是正数.（正）（2）当a+b为定值时，便可求ab的最大值；当ab为定值时，便可求a+b的最小值.（定）（3）当且仅当a=b时，等式成立.（相等）

课后练习1.已知x＞0，求的最小值及相应的x值．2.已知x,y＞0，x+2y=4，求xy的最大值及相应的x,y值．3.已知0＜x＜1，求x(1－x)的最大值及相应的x值．