专题10 勾股定理的综合探究题型（原卷版）.pdfVIP

专题10勾股定理的综合探究题型（原卷版）

题型一探究直角三角形的边和高之间的关系

典例1（湖州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，设AC＝b，BC＝a，AB＝c，CD

＝h，有下列四种说法：①a•b＝c•h；②a+b＜c+h；③以a+b、h、c+h为边的三角形，是直角三角形；

111

④2+2=ℎ2．其中正确的有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

题型二捕捉“手拉手”全等模型或旋转构造“手拉手全等”模型

典例2（2022•卧龙区校级开学）如图，∠BAC＝∠DAF＝90°，AB＝AC，AD＝AF，点D，E为BC边上

的两点，且∠DAE＝45°，连接EF，BF，下列结论：①△AED≌△AEF；②BF＝CD；③BE+DC＞

222

DE；④BE+DC＝DE．其中正确的有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

典例3（2020•滨州模拟）如图，点P是等边三角形ABC内一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，若将△APB

绕着点B逆时针旋转后得到△CQB，则∠APB的度数．

针对练习

1．（洪山区期中）如图，∠AOB＝30°，P点在∠AOB内部，M点在射线OA上，将线段PM绕P点逆时

针旋转90°，M点恰好落在OB上的N点（OM＞ON），若PM=10，ON＝8，则OM＝．

2．（2020秋•永嘉县校级期末）如图，在△AOB与△COD中，∠AOB＝∠COD＝90°，AO＝BO，CO＝

DO，连接CA，BD．

（1）求证：△AOC≌△BOD；

（2）连接BC，若OC＝1，AC=7，BC＝3

①判断△CDB的形状．

②求∠ACO的度数．

题型三倍长中线构造全等三角形

典例4（2022•苏州模拟）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB中点，DE，DF分别交AC于点

E，交BC于点F，且DE⊥DF．

（1）如果CA＝CB，连接CD．

①求证：DE＝DF；

222

②求证：AE+BF＝EF；

（2）如图2，如果CA＜CB，探索AE，BF和EF之间的数量关系，并加以证明．

题型四以两个直角三角形的公共边或等边为桥梁运用双勾股

典例5[阅读理解]

如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，BC＝7，过点A作直线BC的垂线，垂足为D，求线段AD的长．

解：设BD＝x，则CD＝7﹣x．

∵AD⊥BC，

∴∠ADB＝∠ADC＝90°．

在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2，

222

在Rt△ACD中，AD＝AC﹣CD，

2222

∴AB﹣BD＝AC﹣CD．

又∵AB＝4，AC＝6，

2222

∴4﹣x＝6﹣（7﹣x）．

解得x＝，∴BD＝．

∴AD＝＝．

[知识迁移]

（1）在△ABC中，AB＝13，AC＝15，过点A作直线BC的垂线，垂足为D．

i）如图1，若BC＝14，求线段AD的长；

ii）若AD＝12，求线段BC的长．

（2）如图2，在△ABC中，AB＝，AC＝，过点A作直线BC的垂线，交线段BC于点D，

将△ABD沿直线