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(共4页,满分150分.考试时间120分钟.)
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合,,则()
A. B. C.或 D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据并集的定义即可求得答案.
【详解】因为,,所以.
故选:D.
2.已知命题:,,那么是()
A., B.,
C., D.,
【答案】B
【解析】
【分析】由特称命题的否定,直接判断得出答案.
【详解】解:已知命题:,,
则为:,.
故选:B.
3.为了得到函数的图象,只要把函数图象上所有的点()
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出.
【详解】因为,所以把函数图象上所有点向右平移个单位长度即可得到函数的图象.
故选:D.
4.=()
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据诱导公式可得,结合二倍角的余弦公式计算即可求解.
【详解】由题意知,,
所以.
故选:D.
5.已知为了破解某密码,在最坏的情况下,需要进行2512次运算.现在有一台计算机,每秒能进行2.5×1014次运算,那么在最坏的情况下,这台计算机破译该密码所需的时间大约为(参考数据lg2≈0.3,≈1.58)()
A.3.16×10139秒 B.1.58×10139秒
C.1.58×10140秒 D.3.16×10140秒
【答案】B
【解析】
【分析】利用对数的运算法则,结合题目条件,列出方程求解即可.
【详解】设在最坏的情况下,这台计算机破译该密码所需的时间为秒,则,
所以,
,
所以.
故选:B
6.在中,,,则角的最大值为()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设,则,利用基本不等式求出的最小值,结合角的取值范围可求得角的最大值.
【详解】设,则,由余弦定理可得,
当且仅当时,等号成立,因为,则.
故选:A.
7.对于函数,有下列结论:①最小正周期为;②最大值为2;③减区间为;④对称中心为.则上述结论正确的个数是()
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】
【分析】将化简后即可判断其周期,最大值,减区间和对称中心.
【详解】解:
.
,①正确;
时,②错误;
令,解得,因此减区间为,③正确;
令,解得,此时,故对称中心为,故④错误.
所以,上述结论正确的个数是2个.
故选:B.
8.已知函数,则不等式的解集为()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】对不等式作等价变形,构造函数并探讨函数的性质,利用性质解不等式作答.
【详解】函数,则,
因,则不等式成立必有,即,
令,求导得,当时,,当时,,
因此,函数在上单调递减,在上单调递增,又,
当时,,于是得,即,令,
当时,,函数在上单调递减,,,因此,无解,
当时,,于是得,即,此时,
函数在上单调递增,,,不等式解集为,
所以不等式的解集为.
故选:B
【点睛】思路点睛:求某些函数不等式解集,将不等式等价转化,利用同构思想,构造新函数,借助函数的单调性分析求解.
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.已知,且,则下列结论中正确的是()
A有最大值 B.有最小值3 C.有最小值 D.有最大值4
【答案】BD
【解析】
【分析】对于A,直接由基本不等式求得,即可判断A;对于B,将代入中,结合二次函数性质即可判断;对于C,将变形为,展开后,利用基本不等式即可判断;对于D,构造函数,利用导数求得最大值,即可判断.
【详解】对于A选项,因为,且,所以由可得,
当且仅当时等号成立,.故A错误;
对于B选项,由,当且仅当时等号成立,故B正确;
对于C选项,因为
所以,当且仅当即时等号成立,故C错误
对于D选项,因为,
令,解得或(舍),
令,解得,令,解得,
故,此时,故D正确
故选:BD
10.已知正八边形ABCDEFGH,其中,则()
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系,借助平面向量的坐标运算,对各项逐一判断,即可得到本题答案.
【详解】分别以,所在的直线为轴和轴,建立如图所示的平面直角
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