专题9.2 二项式定理（解析版）.pdf

专题9.2二项式定理

目录

题型一：求(a＋b)n形式的“特定项”3

题型二：求形如(a＋b)m(c＋d)n形式的指定项5

题型三：三项式的展开式7

题型四：“二项式系数”与“项的系数”的最值问题8

题型五：“二项式系数”与“项的系数”的和10

知识点总结

知识点一、二项式定理

二项式

nn0nn1n－11nkn－kknnn*

(a＋b)＝Ca＋Cab＋…＋Cab＋…＋Cb(n∈N)

定理

二项

n0nn1n－11n2n－22nkn－kknnn*

Ca＋Cab＋Cab＋…＋Cab＋…＋Cb(n∈N)叫做

(a＋b)n的二项展开式

展开式

nkn－kk

Cab叫做二项展开式的通项，是展开式中的第k＋1项，可记

通项

nkn－kk

做Tk＋1＝Ca·b(k＝0,1,2，…，n)

二项式

各项的系Cnk(k＝0,1,2，…，n)

系

知识点二、二项式系数的性质

(1)对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这

n

－

一性质可直接由Cmn＝Cnnm得到.直线r＝将函f(r)＝Cnr的图象分成对称的两部分，它

2

是图象的对称轴.

n＋1n＋1

(2)增减性与最大值：当k时，Cnk随k的增加而增大；当k时，Cnk随k的增加而

22

减少.如果二项式的幂指n是偶数，那么其展开式中间一项，即T的二项式系数最大；

如果n是奇数，那么其展开式中间两项T与T的二项式系数相等且最大.

n0n1n2nnn

(3)各二项式系数的和：C＋C＋C＋…＋C＝2，且奇数项的二项式系数和等于偶数项

的二项式系数和，即Cn0＋Cn2＋C4n＋…＝Cn1＋Cn3＋Cn5＋…＝2n－1.

知识点三、杨辉三角的性质

(1)最外层全是1，第二层(含1)是自然数列1,2,3,4，…，第三层(含1,3)是三角形数列

1,3,6,10,15，….

－

(2)对称性：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即Cnr＝Cnnr.

－－－

(3)递归性：除1以外的数都等于肩上两数之和，即Cnr＝Cnr11＋Cnr1.

(4)第n行奇数项之和与偶数项之和相等，即Cn0＋Cn2＋C4n＋…＝Cn1＋Cn3＋Cn5＋….