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哈工大附中2024-2025学年度第一学期10月考试
（高三数学）试题
时间：120分钟分值：150分
一、单选题（共8小题，每题5分，共40分）
1.已知数集满足：，，若，则一定有：（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用交集、并集的概念及运算结合元素与集合的关系判定选项即可.
【详解】因为，，且，
所以必有，可能且，也可能且，
故A正确，B、C、D错误.
故选：A.
2.已知等差数列的前项和为，若，且，则（）
A.60 B.72 C.120 D.144
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用等差数列性质及前项和公式计算即得.
【详解】在等差数列中，，解得，
所以.
故选：B
3.下列说法正确的是（）
A.“”是“”的必要不充分条件
B.“”是“”的充分不必要条件
C.若不等式的解集为，则必有
D.命题“，使得.”的否定为“，使得.”
【答案】C
【解析】
【分析】根据充分、必要条件分析判断A；若，满足，但不满足，可得结论判断B；根据分类讨论的符号，结合一元二次不等式分析判断；根据存在量词命题的否定是全称量词命题可判断D.
【详解】对于选项A：例如，则，
即，满足题意，但不成立，即充分性不成立；
例如，则，
即，满足题意，但不成立，即必要性不成立；
所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故A不正确；
对于选项B：若，满足，但不满足，
故“”是“”的必要不充分条件，故B不正确；
对于选项C：若，则的解集不可能为两数之间，不合题意；
若，则的解集不可能为两数之间，不合题意；
综上所述：若不等式的解集为，则必有，故C正确；
对于选项D：命题“，使得.”的否定为“，使得.”，故D不正确.
故选：C.
4.已知函数为上的奇函数，则实数（）
A. B.1 C. D.2
【答案】A
【解析】
【分析】根据奇函数性质，解得，并代入检验即可.
【详解】因为函数为上的奇函数，
则，解得，
若，则，且定义域为，
则，
所以函数为上的奇函数，
综上所述：.
故选：A.
5.已知向量，，若，则的值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由向量垂直的坐标表示得，再应用齐次式运算，由弦化切求目标式的值.
【详解】由题设，
而.
故选：B
6.当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用表示其总衰减规律，其中是消光系数，（单位：米）是海水深度，（单位：坎德拉）和（单位：坎德拉）分别表示在深度处和海面的光强.已知某海域5米深处的光强是海面光强的，则该海域消光系数的值约为（）
（参考数据：）
A.0.2 B.0.18 C.0.1 D.0.14
【答案】B
【解析】
【分析】理解题意，代值后，将指数式化成对数式，取近似值计算即得.
【详解】依题意得，，
化成对数式，，解得，.
故选：B.
7.如图，某港口某天从6h到18h的水深y（单位：m）与时间x（单位：h）之间的关系可用函数近似刻画，据此可估计当天12h的水深为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数图象可确定周期，即可求解，根据最低点得，即可代入求解，从而根据解析式代入即可得解.
【详解】由题图可得，则，
当时，y取得最小值，为，得，
∵函数的图象过点，
∴，即，又，∴，∴.
当时，.
故选：A.
8.设，，，则大小关系为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】构造函数，x∈0,1，求导利用函数的单调性比较的大小，构造函数，，求导利用函数的单调性比较的大小，从而确定的大小关系.
详解】令，x∈0,1，
由，
∴fx在0,1
所以，即，x∈0,1，
，所以；
令，x∈0,1，
由，
令，x∈0,1，，
令，则，
所以在x∈0,1上单调递减，
又，，
所以存在唯一，使得，
即当x∈0,x0时，?′x
即?x在上单调递增，在上单调递减，
所以?x的最小值为，中一个，而，，
所以，即，
所以在0,1上单调递增，所以，
即，x∈0,1，所以，即.
所以.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查构造函数结合导数比较大小问题，解决本题的关键是构造函数，给定定义域求导确定函数单调性最后比较函数值大小即可判断，
例如比较，的大小时，转换，，可构造差函数，，
求导数f′x结合导函数的性质即可确定在的单调性，从而可得函数值大小，即可判断大小关系.
二．多选题（共3小题，每题6分，共18分，部分正确得部分，有错的得0分）
9.已知向量，，则下列结论正确的是（）
A.若，则
B.若，则
C.若，则向量与向量的夹角的余弦值为
D.若，则向量在向
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