专题11勾股定理的实际应用模型(原卷版+解析).docxVIP

专题11勾股定理的实际应用模型

勾股定理将图形与数量关系有机结合起来，在解决实际问题和几何应用中有着广泛的应用。运用勾股定理解决实际问题的一般步骤：（1）从实际问题中抽象出几何图形（建模）；（2）确定要求的线段所在的直角三角形；（3）确定三边，找准直角边和斜边：①若已知两边,则根据勾股定理直接计算第3边；②若已知一边,则根据勾股定理列方程间接求解。（挖掘两个未知边之间的数量关系，设出一边为未知数，把另一边用含有未知数的式子表示出来）。

模型1、梯子滑动模型

相关模型背景：梯子滑动、绳子移动等。

解题关键：梯子的长度为不变量、墙与地面垂直。

梯子滑动模型解题步骤：

1）运用勾股定理求出梯子滑动之前在墙上或者地面上的距离；

2）运用勾股定理求出梯子滑动之后在墙上或者地面上的距离；

3）两者相减即可求出梯子在墙上或者地面上滑动的距离。

例1．（2023春·安徽亳州·八年级校考期中）风华中学八年级（2班）小明同学和他的好朋友小亮一起利用所学知识完成下面的操作，如图，梯子斜靠在墙角处，，梯子底端离墙角的距离．

(1)求这个梯子顶端A距地面有多高；(2)上下移动梯子的过程中，小明发现梯子上总有一个定点到墙角O的距离始终是不变，你能说出这个点并说明其中的道理吗？(3)若梯子顶端A下滑的距离为，底端B向左滑动的距离为，小亮认为a与b的值始终相等，小明认为b可能比a的值大，也可能比a的值小，也有可能相等．你认为他们两个谁说的正确，请说明理由．

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例2．（2023春·广东东莞·八年级阶段练习）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，梯子顶端到地面的距离为，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为，则小巷的宽为（???）

A．2m B． C． D．

例3．（2023秋·河南郑州·八年级校考期末）图中的两个滑块A，B由一个连杆连接，分别可以在垂直和水平的滑道上滑动．开始时，滑块A距O点20厘米，滑块B距O点15厘米．问：当滑块A向下滑13厘米时，滑块B滑动了厘米．

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例4．（2023春·重庆·八年级专题练习）位于沈阳周边的红河峡谷漂流项目深受欢迎，在景区游船放置区，工作人员把偏离的游船从点A拉回点B的位置（如图）．在离水面高度为8m的岸上点C，工作人员用绳子拉船移动，开始时绳子AC的长为17m，工作人员以0.7米/秒的速度拉绳子，经过10秒后游船移动到点D的位置，问此时游船移动的距离AD的长是多少？

模型2、轮船航行模型

相关模型背景：轮船航行等。

解题关键：轮船航行的模型要注意两船终点之间的距离通常为直角三角形的斜边长。

航行模型解题步骤：

1）根据航行的方位角或勾股定理逆定理判定直角三角形；

2）根据航行速度和时间表示出直角三角形两直角边长；

3）根据勾股定理列方程求解航行角度、速度或距离。

例1．（2023秋·重庆·八年级专题练习）如图，某港口O位于东西方向的海岸线上，有甲，乙两艘轮船同时离港，各自沿着一固定方向航行，甲船沿北偏西方向航行，每小时30海里，乙船沿北偏东方向航行，每小时40海里，2小时后，两船分别到达A，B处，此时两船相距多少海里？

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例2．（2023春·吉林·八年级统考期中）如图，我军巡逻艇正在处巡逻，突然发现在南偏东方向距离12海里的处有一艘走私船，以18海里/小时的速度沿南偏西方向行驶，我军巡逻艇立刻沿直线追赶，半小时后在点处将其追上，求我军巡逻艇的航行速度是多少？

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例3．（2023秋·山东东营·八年级校考期末）如图，甲，乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度向东北方向航行，乙船以每小时15海里的速度沿着北偏东方向航行，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船在B处改变航向，沿南偏东方向航行，结果甲，乙两船在小岛C处相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，求：（结果保留根号）

(1)港口A与小岛C之间的距离；(2)甲船从B处行至小岛C的速度．

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模型3、信号站（中转站）选择模型

相关模型背景：信号塔、中转站等。

解题关键：信号塔和中转站模型要注意两个目的地到信号塔或中转站的距离是相等的。

信号塔、中转站模型解题步骤：

1）根据问题设出未知量（一般求谁设谁），并根据设出的未知量表示出两个直角三角形的直角边长；

2）在两个直角三角形中分别用勾股定理表示出斜边长；

3）根据斜边长相等建立方程求解。

例1．（2022秋·江苏·八年级专题练习）11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”问题：小溪边长着两课棕榈树，恰好隔岸相望，一棵棕榈树CD高是6米，另外一棵AB高4米；AB与CD树干间的距离是10米．每棵树的树顶上都停着一只鸟．忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻以相同的速度飞去抓鱼，并且同