常州高级中学2023-2024学年高二上学期期末质量检查数学试题（解析版）.docxVIP

第PAGE22页/共NUMPAGES22页

常州高级中学2023~2024学年第一学期期末质量检查高二年级

数学试卷

本卷总分150分，考试时间120分钟

一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.以椭圆的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线方程为（）

A. B.

C D.

【答案】C

【解析】

【分析】确定双曲线的焦点和顶点，进而可得双曲线方程.

【详解】因为椭圆的长轴端点为，焦点为，

所以双曲线的焦点为，顶点为，

所以双曲线方程为.

故选：C.

2.已知的展开式中所有奇数项的二项式系数的和为，则展开式中有理项共有（）项

A.2 B.3 C.4 D.5

【答案】C

【解析】

【分析】由奇数项二项式系数和得，由展开通项是有理项得能被整除，由此即可得解.

【详解】由题意得，所以，解得，

所以的展开通项为，

若为有理项，则能被整除，即满足题意的可以是：共四个.

故选：C.

3.等差数列的前项和为，若，，则（）

A.18 B.19 C.20 D.21

【答案】B

【解析】

【分析】设出公差，根据等差数列求和公式得到方程，求出首项和公差，求出答案.

【详解】设公差为，则有，

解得，

故.

故选：B

4.从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字中任意取出三个不同的数，若这三个数的和为不小于9的奇数，则不同的取法有（）种.

A.54 B.53 C.47 D.46

【答案】B

【解析】

【分析】将10个数分为2组，一组为奇数：1?3?5?7?9，一组为偶数：0、2?4?6?8，然后分2种情况讨论：①取出的3个数全部为奇数，②取出的3个数有1个奇数，2个偶数，再由加法原理计算可得答案.

【详解】根据题意，将10个数分为2组，

一组为奇数：1?3?5?7?9，一组为偶数0、2?4?6?8，

若取出的3个数和为奇数，分2种情况讨论：

①取出的3个数全部为奇数，有种情况，都符合题意，

②取出的3个数有1个奇数，2个偶数，

若奇数取9，有种情况；

若奇数取7，有种情况；

若奇数取5，有种情况；

若奇数取3，有种情况；

若奇数取1，有种情况；

综上，三个数的和为不小于9的奇数，不同的取法有种.

故选：B.

5.已知数列满足，若，则数列的前10项和为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】由递推关系求出，再由裂项相消法求的前10项和即可.

【详解】因为，

所以，

两式相减可得，即，

所以，

所以.

故选：D

6.在抛物线上取横坐标为和2的两点，平行于直线的直线同时与抛物线和圆相切，则（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】结合题意求出直线的斜率并设出直线方程，联立抛物线，求出，再利用直线与圆相切求出半径即可.

【详解】结合题意可得：令，则，故，令，则，故，

所以直线的斜率为，

因为平行于直线的直线同时与抛物线和圆相切，

所以直线可设为，

联立可得：，

则，解得，

所以直线为，即，

又的圆心为半径为，

所以圆心到直线的距离为，

因为直线与圆相切，所以.

故选:A.

7.杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家.他在《详解九章算法》一节中，画了一个由二项式展开式的系数构成的三角形数阵，这就是著名的“杨辉三角”.在“杨辉三角”中，从第2行开始，除1以外，记每一行第个数组成的数列称为第斜列，该三角形数阵前5行如图所示，则该三角形数阵前2024行中第斜列各项之和为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】当时，该三角形数阵前2024行中第斜列各项之和为，化简即可得到答案.

【详解】当时，第行的第斜列项为，

故该三角形数阵前2024行中第斜列各项之和为，

根据以及组合数的性质，

化简可得：.

故选：C

8.已知、为双曲线的左、右焦点，若过的直线与双曲线的左支交于、两点，记的内切圆的半径为，的内切圆的半径为，若，则此双曲线离心率的值为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】设的内切圆为圆，该圆切、、于点、、，设的内切圆为圆，推导出，可得出，即可得、所满足的等式，即可求得该双曲线的离心率的值.

【详解】设的内切圆为圆，该圆切、、于点、、，

设的内切圆为圆，如下图所示：

由切线长定理可得，，，

则，

即，

所以，，则，

由圆的几何性质可知，轴，可知，，同理可知，，

所以，、、三点共线，且轴，

因为，，，所以，，

所以，，同理可得，，

所以，，

所以，，所以，，

即，即，即，

因为，所以，，可得，故该双曲线的离心率为.

故选：D.

【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方