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第一章数学根底;拉氏变换及反变换

—一种解线性微分方程的简便方法;;1.复数的概念;当x=0,y?0时,z=iy称为纯虚数;当y=0时z=x+0i,将其看作是实数x.

两个复数相等,是指的它的实部和虚局部别相等.复数z=0,是指的实部和虚部都是0.

2.复数的代数运算两个复数z1=x1+iy1,z2=x2+iy2的加法,减法和乘法定义为

(x1+iy1)?(x2+iy2)=(x1?x2)+i(y1?y2)(1.1.1)

(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)

(1.1.2)

称上面二式右端为z1,z2的和,差与积

当z1,z2为实数时,上二式与实数的运算一致.;称满足

z2z=z1 (z2?0)

的复数z=x+iy为z1除以z2的商,;把实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数,与z共轭的复数记作z;2复数的几何表示;在复平面上,复数z还与从原点指向点z=x+iy的平面向量一一对应,因此复数z也能用向量OP来表示.向量的长度称为z的模或绝对值,记作;显然,以下各式成立;在z?0的情况,以正实轴为始边,以表示z的向量OP为终边的角的弧度q称为z的轴角,记作

Argz=q

这时,有;任何一个复数z?0有无穷多个幅角,如果q1是其中的一个,那么

Argz=q1+2kp(k为任意整数)(1.2.3)

给出了z的全部幅角,在z(?0)的幅角中,将满足-pq0?p的q0称为Argz的主值,记作

q0=argz;一对共轭复数z和z在复平面内的位置是关于实数轴对称的,因而|z|=|z|,如果z不在负实轴和原点上,还有argz=-argz;利用直角坐标与极坐标的关系:

x=rcosq,y=rsinq,

可以将z表示成三角表示式:

z=r(cosq+isinq), (1.2.7)

利用欧拉公式eiq=cosq+isinq得指数表示式:

z=reiq (1.2.8);3乘积与商设有两个复数

z1=r1(cosq1+isinq1),z2=r2(cosq2+isinq2),

z1z2=r1r2(cosq1+isinq1)(cosq2+isinq2)

=r1r2[(cosq1cosq2-sinq1sinq2)

+i(sinq1cosq2+cosq1sinq2)]

=r1r2[cos(q1+q2)+isin(q1+q2)]

于是 |z1z2|=|z1||z2| (1.3.1)

Arg(z1z2)=Argz1+Argz2, (1.3.2)

定理1两个复数乘积的模等于它们的模的乘积,两个复数乘积的幅角等于它们幅角的和.;如果用指数形式表示复数:;按照商的定义,当z1?0时,有;如果用指数形式表示复数:;4复变函数;例如,考察函数

w=z2

令z=x+iy,w=u+iv,那么

u+iv=(x+iy)2=x2-y2+2xyi,

因而函数w=z2对应于两个二元函数:

u=x2-y2,v=2xy;;