2024-2025学年河南省金太阳联盟高二（上）第一次联考数学试卷_20241125162104.docx

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2024-2025学年河南省金太阳联盟高二（上）第一次联考数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）在空间直角坐标系中，点，2，关于平面的对称点是

A．，2， B．，， C．，1， D．，2，

2．（5分）在长方体中，，分别为，的中点，则下列向量中与向量平行的向量是

A． B． C． D．

3．（5分）在△中，已知，2，，，4，，，7，，则边上的中线长为

A． B．6 C． D．7

4．（5分）已知，4，，，，分别是平面与平面的一个法向量，若，则

A．4 B．2 C． D．

5．（5分）下列命题是真命题的是

A．在四面体中，

B．非零空间向量与可能不共面

C．与向量，8，共线的单位向量是，，

D．若，，是三个空间向量，则

6．（5分）已知，，是空间的一个单位正交基底，，则空间向量在方向上的投影向量为

A． B． C． D．

7．（5分）如图，边长为12的正方形是圆柱的轴截面，为半圆上靠近点的三等分点，则

A．36 B．72 C． D．

8．（5分）如图，在正方体中，为的中点，为的中点，在线段上，则直线与平面所成角的最大值为

A． B． C． D．

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9．（6分）如图，在正方体中，，以，，为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．已知，，，是直线的方向向量，则下列命题是真命题的是

A．，1，是直线的一个方向向量

B．，1，是平面的一个法向量

C．若平面，则

D．若平面，则

10．（6分）如图，在正四棱锥中，，，，若，则

A． B．

C． D．，，，四点共面

11．（6分）如图，在正四棱台中，，．若点在棱上运动，点在棱上运动，则点与点之间的距离可能为

A． B． C． D．6

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12．（5分）已知向量，0，，，1，，则，．

13．（5分）在棱长为4的正方体中，为平面的中心，为的中点，则点到直线的距离为．

14．（5分）如图，在直四棱柱中，，，，为侧面上的动点．若点在某线段上运动且满足，则该线段的长度的最大值为．

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．（13分）如图，在斜三棱柱中，为的中点，为上靠近点的三等分点．设，，，，．

（1）用，，表示向量；

（2）若，，求．

16．（15分）如图，在九面体中，平面平面，平面平面，，，底面为正六边形．设，的中点分别为，，以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系．

（1）写出点，，，，，的坐标；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

17．（15分）如图，在直三棱柱中，，，且，，直线与交于点．

（1）证明：平面．

（2）求二面角的正弦值．

18．（17分）如图1，过球上不在同一大圆上的，，三个点中的任意两点作大圆，可以得到劣弧，与，则这三条劣弧围成的曲面（阴影部分）称为球面△，这三条劣弧称为球面△的边，，，三点称为球面

△的顶点．设二面角为，二面角为，二面角为，则球面△的面积，其中为球的半径，，，均用弧度制表示．以球心为坐标原点，建立如图2所示的空间直角坐标系．已知，0，，，，，三点均在球的球面上，其中，．

（1）求，的值；

（2）求点到平面的距离；

（3）求球面△的面积．

19．（17分）如图，在多面体中，底面是边长为4的正方形，点为底面的中心，为的中点，平面，，直线与平面所成角的正弦值为，直线与平面所成的角大于．

（1）求的长．

（2）试问在棱上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

2024-2025学年河南省金太阳联盟高二（上）第一次联考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）在空间直角坐标系中，点，2，关于平面的对称点是

A．，2， B．，， C．，1， D．，2，

【分析】由点关于平面对称的点坐标的求法，可得对称点的坐标．

【解答】解：点，2，关于平面的对称点为，2，．

故选：．

【点评】本题考查点关于平面的对称点的求法，属于基础题．

2．（5分）在长方体中，，分别为，的中点，则下列向量中与向量平行的向量是

A． B． C． D．

【分析】根据平行向量的概念判断．

【解答】解：画出图形，如图所示：

因为，分别为，的中点，

所以，

由正方体的结构特征可知，，

所以，