解直角三角形的应用.docVIP

三角函数的应用

【知识要点】

1.仰角:当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角

图12.俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角

图1

3.规律：利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。(2)0≤sinα≤1，0≤cosα≤1。

4.坡度：如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度(或坡比)。用字母i表示，即

图2

图2

h

i=h:l

l

A

B

C

5.方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC的方位角分别为45°、135°、225°。

6.方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4，OA、OB、OC、OD的方向角分别是；北偏东30°，南偏东45°(东南方向)、南偏西为60°，北偏西60°。

图4图3

图4

图3

【典型例题】

1．如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=5米，AB=7米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，求警示牌的高CD为多少米？〔结果保存根号〕

2．水库大坝截面的迎水坡坡比〔DE与AE的长度之比〕为1：0.6，背水坡坡比为1：2，大坝高DE=30米，坝顶宽CD=10米，求大坝的截面的周长和面积．

3．如图，斜坡AB长130米，坡度i=1：2.4，BC⊥AC，

〔1〕BC=m，AC=m；

〔2〕现在方案在斜坡AB的中点D处挖去局部坡体修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE，假设斜坡BE的坡角为30°，求平台DE的长．〔精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45〕

4．某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼．该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房．在该楼前面15米处要盖一栋高20米的新楼．上海地区冬至正午的阳光与水平线夹角为29°．〔参考数据：sin29°≈0.48；cos29°≈0.87；tan29°≈0.55〕

〔1〕中午时，超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？

〔2〕假设要使得超市采光不受影响，两楼应至少相距多少米？〔结果保存整数〕

5．小明想利用所学数学知识测量学校旗杆高度，如图，旗杆的顶端垂下一绳子，将绳子拉直钉在地上，末端恰好在C处且与地面成60°角，小明拿起绳子末端，后退至E处，拉直绳子，此时绳子末端D距离地面1.6m且绳子与水平方向成45°角．

〔1〕填空：ADAC〔填“＞”，“＜”，“=”〕．

〔2〕求旗杆AB的高度．

〔参考数据：≈1.41，≈1.73，结果精确到0.1m〕．

6．如图，要在宽为28米的公路AB路边安装路灯，路灯的灯臂CD长为3米，且与灯柱BC成150°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DE与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DE能过公路路面的中点时照效果最理想．问应设计多高的灯柱，才能取得最理想的照明效果．〔结果保存根号〕

7．今年夏天我市出现厄尔尼诺现象极端天气，多地引发滑坡、山洪等严重自然灾害．如下图，ON为水平线，斜坡MN的坡比为1：，斜坡上一棵大树树干AB〔树干AB垂直于底面ON〕被大风刮倾斜15°后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面，经测量，大树被折断局部与坡面所成的角∠ADC=30°，AD=8米，∠BAC=15°．

〔1〕求这棵大树原来的高度；〔参考数据：≈1.732．结果精确到0.1米〕

〔2〕某高速路段由于滑坡，需要在一定时间内进行抢修，假设甲队单独做正好按时完成，而乙队由于人少，单独做那么超期3个小时才能完成．现甲乙两队合作2小时后，甲队又有新任务，余下的由乙队单独做，正好按期完成．求乙队单独完成全部工程需多少小时？

8．如图，一楼房AB后有一假山，其坡面CE与水平地面的夹角为30°，在阳光的照射下，楼房AB落在地上的影长BC=25米，落在坡面上的影长CE=20米，小丽测得同一时刻1米高的竹竿在水平地面上的影长为0.8米，求楼房AB的高．〔≈1.7〕

9．公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m，一辆拖拉机以3.6km/h的速度在公路MN上沿PN方向行驶，假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受噪声影响，那么，学校是否会受到噪声影响？如果不受影响，请说明理由；如果受影响，会受影响几分钟？

10．如图，电线杆AB铅垂的竖立在坡角为30°的山坡上，太阳光线与水平线成60°时，电线杆AB的影子BC长为4米．

〔1〕求电线杆AB的长；

〔2〕同一时刻与AB高度相等的电线杆DE