2025年高考数学一轮复习讲义-幂指对比较大小常见方法总结.docxVIP

第4讲幂指对函数比较大小题型及方法总结

一、考情分析：

幂指对函数“比大小”是高考的热点题型之一，难度不定，而且很受命题者的青睐。几乎每年高考都会出现，目前有难度逐年上升的趋势。

命题形式主要是选择题，分值一般为5分，试题往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起进行考查。

二、解题策略：

三、方法精讲

方法1：直接利用函数单调性

【例1】（2024福建宁德高三统考）设，则的大小关系为（）

A．B．C．D．

答案D

解：因为，且是上单减，

故可得，，即，；

又因为，

而是上单增，则，即.

故.

故选：D.

【变式1】（2023·安徽·高三校联考阶段练习）已知，，，则a、b、c的大小顺序为（）

A． B． C． D．

答案C

解：观察条件可知，可以将都化为以2为底的对数，然后借助于函数的单调性进行比较。

，，因为，单调递增，.

故选：C

【变式2】（2024·天津·高三统考期末）设，，，则的大小关系为（）

A．B．C．D．

答案B

解：，，在R上单增，，

在上单减，，

综上，。

故选：B.

【变式3】（2024·陕西宝鸡统考一模）已知实数满足，则（）

A．B．C．D．

答案A

解：，所以，

，，在上单增，比较的大小即可，同时取15次幂，

在上单增，比较即可，

即，即.

故选:.

【变式4】（2023·北京顺义高三校考阶段检测）已知，，，比较a，b，c的大小为（????）

A． B． C． D．

答案C

解：在上单增，，

，；

在上单增，，

.综上，.

故选：C

【方法总结】

当两个实数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性进行比较

（1）底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性即可；

（2）指数相同，底数不同，如和，利用幂函数的单调性即可；

（3）底数相同，真数不同，如和，利用指数函数的单调性即可；

（4）如果底数或者指数不同时，可以先尝试化为同底数或者同指数的形式，进而借助单调性进行比较

（5）除了幂指对函数，也可以利用三角函数、对勾函数等函数的单调性进行比较大小。

方法2：利用作差法或作商法

【例题1】（2023·辽宁·大连高三开学考试）已知，，，则a，b，c的大小关系为（????）

A．B．C． D．

答案D

解：分别对，，两边取对数，得，，．

．

由基本不等式，可得:

，

所以，即，．

又，.

故选：D．

【变式1】（2023·山东青岛·高三莱西市第一中学校联考期中）已知，，，则（）

A．B．C．D．

答案B

解：，，

时，由不等式得，，，

，

，，，，

综上，。

故选：B.

【变式2】已知a＝0.8－0.4，b＝log53，c＝log85，则()

A．abc B．bca

C．cba D．acb

答案B

解：eq\f(b,c)＝eq\f(log53,log85)＝eq\f(ln3×ln8,(ln5)2)eq\f((ln3＋ln8)2,4(ln5)2)＝eq\f((ln\r(24))2,(ln5)2)1，得bc，又∵c1a＝0.8－0.4，

∴bca.

故选B

【变式3】（2023·河南·安阳高中高三模拟）设，，，则a，b、c的大小关系为（????）

A．B．C． D．

答案A

解：∵，，，

又，

，，即，

，即，∴.

故选：A.

【变式4】已知，则正数的大小关系为()

A． B．

C. D．

答案A

解：由log4m＝eq\f(9,20)，得m＝2，

由log12n＝eq\f(1,4)，得n＝，

，因此2mn；

由0.9p＝0.8，得p＝log0.90.8log0.90.81＝2，于是pmn，

所以正数m，n，p的大小关系为.

故选A

【方法总结】作差法、作商法：

（1）一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；

（2）作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法；

方法3：引入中间量法

【例1】（2023·高三新疆石河子一中校考阶段练习）设，则a，b，c的大小顺序是（）

A．c＜a＜b B．c＜b＜a

C．a＜c＜b D．b＜c＜a

答案B

解，，；

.

故选：B.

【变式1】（2024·天津红桥·高三统考期末）设，，则（）

A．B．C．D．

答案C

解:，，，

。

故选：C

【变式2】（2023·河北石家庄高三专题检测）已知，则a，b，c的大小关