《决策型概率问题》教学设计.docx

人教A版数学选择性必修第三册第七章决策型概率问题

《决策型概率问题》教学设计

一、教材分析

概率问题是贯穿新教材[1]始终的一个主线内容.本节课是在学生学习过选修三第七章之后的一个专题知识.决策型概率问题一直以来也是高考的热点问题，在第七章的课本例题中也曾多次出现，决策型问题往往综合性较强，有一定难度，要求学生对概率统计的知识点非常熟悉，能够在复杂的情境中使用概率统计的思想解决问题.

学生学情分析

1.学生已具备的能力：已经掌握随机变量的均值、方差等数学量的计算；已经熟悉均值、方差等数学量的数学意义；具备一定分析问题、转化问题、数学运算的能力.

2.学生面临的困难：对于具体的实际问题该如何选择恰当的决策依据，并根据决策依据作出合理决策或对决策内容的合理性进行解释说明.

教学目标设置

能够将实际问题转化为数学问题，让学生根据实际问题确定解决问题的决策依据；

掌握常见概率统计量的计算方法，例如方差、均值等；

能够将数学问题转化为实际问题，根据计算结果解释具体问题的实际意义，并做出合理决策或是对决策结果解释说明.

四、教学重点与难点

重点：根据具体问题能够确定恰当的决策依据；

难点：能够根据计算结果解释具体问题的实际意义，并做出合理决策或是对决策结果解释说明.

五、教学过程设计

1.概念引入

决策型问题

概率中的决策型问题往往需要将实际生活中的例子模型化，通过研究数据，分析、计算概率统计量，从而做出决策或者对某个决策的合理性进行解释说明.

在解决决策型概率问题的时候，我们一般会经历一下三步：

【设计意图】：明确一般的决策型概率问题的解决步骤，以及常见的决策依据.

例题研究——以期望作为决策依据

例题1某学校组织“一带一路”知识竞赛，有，两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.类问题中的每个问题回答正确得分，否则得分；类问题中的每个问题回答正确得分，否则得分，已知小明能正确回答类问题的概率为，能正确回答类问题的概率为，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.

（1）若小明先回答类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；

（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

【分析】（1）根据题意，小明先回答类问题，再回答类问题，则所有的答题情况如图：

【详解】（1）由题用，分别表示小明能够正确回答类，类问题的事件，则事件，相互独立.记为小明的累计得分，的所有可能取值为，，.

；；．

所以的分布列为

【分析】（2）根据题意，根据题意，小明可以选择先回答类问题，也可以选择先回答类问题.在(1)中我们已经计算过先回答类问题时，小明的累计得分的期望为:

类似地，先回答类问题得分情况如下：

【详解】（2）若小明先回答类问题，记为小明的累计得分，则的所有可能取值为，，.

；；．

所以

因为，所以小明应选择先回答类问题．

小结：

第一步，确定决策依据为累计得分的期望值；

第二步，分别计算了小明先回答类问题和先回答类问题得分的期望值；

第三步，回归本题的问题，比较期望值的大小，最终做出决策.

【设计意图】本题是以期望作为决策依据的，分别计算了先回答A类问题和先回答B类问题这两种情况的得分期望值，根据计算结果做出决策，应当先回答A类问题.本题结束后引导学生分析这个决策型概率问题的处理方法，让学生感受分析解决问题的过程.

例题2某工厂的某种产品成箱包装，每箱件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立.现对一箱产品检验了件，结果恰有件不合格品．已知每件产品的检验费用为元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付元的赔偿费用．

（1）若不对该箱剩余产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求;

（2）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱剩余的所有产品作检验？

【分析】（1）若不对该箱剩余产品作检验，目前产生的费用只有件产品的检验费和不合格产品的赔偿费用.件产品的检验费为固定值元.

由于检查出的2件不合格品都会替换成合格品，那么赔偿费就只需要考虑剩余件中的不合格品数量.

用表示剩余的件产品中得不合格品件数，则赔偿费用为.故

【详解】（1）若不对该箱剩余产品作检验,件产品的检验费为固定值元.

令表示余下的件产品中的不合格品件数，依题意知，，即.所以.

【分析】（2）由(1)知，若不对剩余产品进行检验，则费用总为，即

若对剩余产品进