高等数学--3.积分学.ppt

积分学

一、不定积分

二、定积分

三、广义积分

四、重积分

五、平面曲线积分

六、积分应用

1.直接积分法

通过简单变形,利用基本积分公式和运算法则

求不定积分的方法(要求记住基本积分公式）.

2.换元积分法

第一类换元的基本思路

g(x)dxf[(x)]d[(x)]F[(x)]C

注：这里要求f(x)的原函数易求，且F(x)f(x)

第一类换元的关键是凑微分，常用的凑微分结果有

11

dxd(axb)xkdxd(axk1b)

a(k1)a

xx1

edxd(e)dxd(lnx)(x0)

x

cosxdxd(sinx)sinxdxd(cosx)

1

dxd(arctanx)d(arccotx)

1x2

1

dxd(arcsinx)d(arccosx)

1x2

1

dx2d(x)tanxsecxdxd(secx)

x

11

21

secxdxdxd(tanx)2dxd()

cos2xxx

daxaxlnadx

dx

例1求

2x1

dx1d(2x1)1

解：dxd(2x1)

2x122x12

1

ln|2x1|C

2

1

例2求xx23dxxdxd(x23)

2

1

解：xx23dx=x23d(x23)

2

1

111

=(x23)2C

21

1

2

3

1

(x23)2C

3

第二类换元的解题思路为(t)f[(t)](t)

x(t)

f(x)dxf[(t)](t)dt

1

(t)C[(x)]C

使用该公式的关键为

1.x(t)单调可导，有反函数存在。

2.积分f[(t)](t)dt易求。

第二类换元常见类型有三角代换倒代换根式代

换等

udvuvvdu

(1)当被积函数为对数函数和反三角函数时,取

被积函数为u

(2)当被积函数为两种不同类型函数乘积时

一般经验:按“反,对,幂,指,三”的顺

序,

排前者取为u.

2x

例3求积分xedx.

解ux2,exdxdexdv,

2xx2

x2exdxx2dexxeedx

x2ex2xexdx

（再次使用分部积分法）ux,exdxdv

x2exdxx2ex2xdexx2ex2(xexex