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09级数模试题

1．把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地,放不稳，然后稍微挪动几

次，就可以使四只脚同时着地,放稳了.试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。(15分)

解:对于此题，如果不用任何假设很难证明,结果很可能是否定的。

因此对这个问题我们假设：

(1)地面为连续曲面

(2)长方形桌的四条腿长度相同

(3)相对于地面的弯曲程度而言,方桌的腿是足够长的

(4)方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。

那么,总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。

现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。以长方桌的中心为坐标原点作直角

坐标系如图所示，方桌的四条腿分别在A、B、C、D处，A、B,C、

D的初始位置在与x轴平行，再假设有一条在x轴上的线ab，则a

b也与A、B,C、D平行。当方桌绕中心0旋转时，对角线ab与x

轴的夹角记为9.

容易看出,当四条腿尚未全部着地时,腿到地面的距离是不确定

的。为消除这一不确定性，令f(9)为A、B离地距离之和，

g(9)为C、D离地距离之和，它们的值由9唯一确定。由假设

(1),f(9),g(9)均为9的连续函数.又由假设(3),三条腿总能同时着地，故f(9)g(9)=0必成立

(A9)。不妨设f(0)=0,g(0)0g(若g(0)也为0，则初始时刻已四条腿着地,不必再旋转),于

是问题归结为：

已知f(9)，g(9)均为9的连续函数，f(0)=0,g(0)0且对任意9有f(9)g(9)=0，求证存

00

在某一9，使f(9)g(9)=0。

000

证明：当θ＝π时，AB与CD互换位置,故f(u)0，g(u)=0.作h(9)=f(9)g(9),显然，h(9)

也是9的连续函数，h(0)=f(0)g(0)0而h(u)=f(u)g(u)0，由连续函数的取零值定

理，存在9，09u，使得h(9)=0，即f(9)=g(9)。又由于f(9)g(9)=0，故必有

0000000

f(9)=g(9)=0，证毕。

00

2．学校共1000名学生，235人住在A宿舍,333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生们要组织一

个10人的委员会，试用合理的方法分配各宿舍的委员数。(15分)

解:按各宿舍人数占总人数的比列分配各宿舍的委员数。设：A宿舍的委员数为x人,B宿舍的委员数为y人，

C宿舍的委员数为z人。计算出人数小数点后面的小数部分最大的整数进1,其余取整数部分。

则

x+y+z=10;

x/10=235/1000；

1/7

y／10=333/1000；

z/10=432/1000;

0x10

0y10

，x,y,z为正整数;

0z10

解得：x=3

y=3

z=4

3。一饲养场每天投入5元资金用于饲料、设备、人力，估计可使一头80公斤重的生猪每天增加2公斤.

目前生猪出售的市场价格为每公斤8元，但是预测每天会降低0．1元，问该场应该什么时候出售这样的

生猪可以获得最大利润。(15分)

解：设在第t天出售这样的生猪(初始重80