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《圆锥曲线中的弦长问题》教学设计

【教学内容】

熟练掌握、应用弦长公式解决圆锥曲线问题一般步骤

【教学目标】

1.掌握圆锥曲线中的弦长公式，并能够熟练使用弦长公式求解弦长，培养和提高数学运算、数学抽象等核心素养；

2.结合例题，通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提高解决问题的能力.

【教学重难点】

教学重点：掌握椭圆，双曲线，抛物线的弦长公式的应用，并能够熟练使用弦长公式求解弦长.

教学难点：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养.

【复习引入】

弦长公式：

设Ax1，

AB

（1）若A、?B在直线

AB=

（2）若A、?B在直线

AB=1+t2

【例题讲解】

一、直接求弦长

【例1】已知双曲线C：x22-y2=1.过点P3，0，倾斜角为π4的直线

解：由题意可得直线l的方程为：y=x-3．

设Ax1

整理可得：x2

由韦达定理可得：x

所以弦长AB=1+1

备注：这里可以直接解得A，B两点的坐标：

解得x

将x1=2，x2

故A2

所以弦长AB=2-10

【例2】已知抛物线C：y2=3x，斜率为32的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．若AP=3

解：设直线l：y=32x

由AP=3PB，可得

联立y=32x+m，y2=3x，整理得y2-2y+2m=0，可知：Δ0，

由韦达定理可知

代入抛物线C方程得，x1=3，x2=13，即

二、已知弦长求参数

【例3】已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为22，且经过点

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)当|AB|=3，求此时直线

解：（1）∵e=ca=22

∴x22b2+y2

所以椭圆方程为x2

（2）当直线l的斜率不存在时，即直线l的方程x=0，

此时|AB|=2b=22

∴直线AB的斜率存在，不妨设直线l的方程为y=kx+1，

设Ax

联立方程组可得y=kx+1，x2+2y

其判别式Δ=8+32

∴由韦达定理有x1+

∴AB

??????????????=1+

整理可得4k4－4

此时直线方程为y=22x+1

三、求弦长的最值

【例4】已知椭圆C：x2a2

(1)求椭圆C的方程；

(2)设过点Mm,0的直线l与圆x2+y2=1相切且与椭圆C交于

解：（1）椭圆C的四个顶点构成的四边形的面积为12

由题意可得a2=b2+

所以，椭圆C的方程为x2

（2）若直线l与x轴平行或重合，

此时直线l与圆x2

设直线l的方程为x=ty+m，由题意可得m1+t2

设Ax1，y1，Bx2

即t2

Δ=

则y1+y

所以，AB

???????????????????????=1+

令1+t2=n≥1，则t

当且仅当n=3时等号成立，此时t=±2，

故AB的最大值为2．

【课堂小结】

有关弦长的问题的解题步骤解题步骤：设直线、设点，联立，消元，韦达，代入弦长公式，化简．

第1步：设直线、设点，注意讨论直线斜率的存在性

第2步：联立方程组y=kx+m，fx,y=0，消去y

第3步：由判别式和韦达定理列出条件二次项系数不为零

第4步：把所要解决的问题转化为x1+x2，

【答疑】

思考1：在例4的解答过程中，我们设了直线为x=ty+m，为什么要这么设直线？

什么情况下用y=kx+n，什么情况用x=ty+m

能排除掉斜率不存在的情况，考虑用y

能排除掉斜率为0的情况，考虑用x=ty+m；

如果都要讨论，考虑直线的形式：

如果直线在y轴上的截距确定，考虑用y=kx+n

如果直线在x轴上的截距确定，考虑用x=ty

思考2：在求解含参弦长问题的时候，最难的一部分是什么？最容易出错的地方在哪里？

例3（2）当直线l的斜率不存在时，即直线l的方程x=0，此时AB=2b=2

∴直线AB的斜率存在，不妨设直线l的方程为y=kx+1，设Ax

联立方程组可得y=kx+1x2+2y2

韦达定理代入，字母运算，计算量大，有没有更好的做法？其判别式Δ

韦达定理代入，字母运算，计算量大，有没有更好的做法？

∴由韦达定理x

∴AB

??????????????=1+

整理可得4k4－4

此时直线方程为y=22x+1

知识补充：

直线与圆锥曲线相交的弦长公式：

（1）若A、?B

联立方程组y=kx+n，fx,y=0，消去

AB=

（2）若A、?B

联立方程组x=ty+m，fx,y=0，消去

AB=

利用以上的补充，例3、例4第二问弦长公式可以避开繁琐的计算：

例3（2）AB=1+k2

例4．(2)

小结：

设直线方程的时候，可以设为y=kx+n，也可以设为x=ty+m，具有要根据直线的特征分析；

用韦达定理代入弦长公式化简，一般计算量比较大，用补充的弦长公式

AB

（或AB=