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2019年全国高中数学联赛吉林预赛试题及详解
2019年全国高中数学联赛（吉林赛区）预赛试题
2019年5月20日8：30-11：00
一、选择题：本大题共6个小题,每小题5分,共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.\oCurrentDocument集合的真子集个数为（）
A．7B．8C．15D．16
2.三棱锥的底面是边长为3的正三角形，，则三棱锥的体积为（）
A．3B．C．D．
3.已知函数满足：，，则（）
A．B．C．D．
\oCurrentDocument4.已知，则对，下列说法中错误的是（）
A．B．C．D．
5.已知在上的最大值为，最小值为，则（）
A．3B．2C．1D．0
6.设，满足，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
第Ⅱ卷（共120分）
二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）
7.函数的定义域为．
8.已知圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则的最大值等于．
9.如图，在直角三角形中，，点是斜边上一点，且，则．
10.已知点在直线上，点在直线上，的中点为，且，则的取值范围是．
11.若实数满足条件，则的最大值等于．
12.在数列中，若(为常数)，则称为“等方差数列”.下列是对“等方差数列”的判断：
①数列是等方差数列；
②若是等方差数列，则是等差数列；
③若是等方差数列，则(为常数）也是等方差数列；
④若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列.
其中正确命题序号为．(将所有正确的命题序号填在横线上）
三、解答题（本大题共4小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
13.已知函数的最大值为2.
（1）求的值及的最小正周期；
（2）求的单调递减区间.
14.数列为等差数列，且满足，数列满足，的前项和记为，问：为何值时，取得最大值，说明理由.
15.已知抛物线过点，过点作斜率大于0的直线交抛物线于两点（点在之间），过点作轴的平行线，交于，交于，与的面积分别记为，比较与的大小，说明理由.
16.设，且至多有一个为0，求的最小值.
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