2023-2024学年高中数学人教A版选修二 4.4 数学归纳法 同步练习.docx

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2023-2024学年高中数学人教A版选修二4.4数学归纳法同步练习

一、选择题

1．用数学归纳法证明：2+4+6+8+?+2n=2n?1

A．1 B．2k?1 C．2k

2．用数学归纳法证明2n?12n+1

A．1 B．2 C．3 D．4

3．用数学归纳法证明等式(n+1)(n+2)??(n+n)=2n?1?3??(2n?1)(n∈N?

A．2k+3k+1 B．2k+1k+1 C．2k+1

4．用数学归纳法证明不等式1n+1+1n+2+

A．增加了一项1

B．增加了一项1

C．增加了12(

D．增加了12k+1+

5．用数学归纳法证明1+2+3+???+n2=(1+n

A．1 B．k C．k2 D．

6．用数学归纳法证明下列等式：?1+3?5+7+…+(?1)n(2n?1)+

A．-1 B．?1+3 C．?1+3?5 D．?1+3?5+7

7．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n?1

A．7 B．8 C．9 D．10

8．用数学归纳法证明“不等式1n+1+1n+2+1n+3

A．13k+2+1

C．13k+1+1

二、多项选择题

9．已知各项均为正数的数列{an}的前n项之积为T

A．当n≥2时，0

B．当12

C．无论a1取何值，均存在λ∈N?使得a

D．无论a1取何值，数列{an

10．已知数列{an},?{bn}均为递增数列，{a

A．0a11 B．1b1

三、填空题

11．用数学归纳法证明“1+a+a2+?+an+1

12．用数学归纳法证明“1+12+

13．毕达哥拉斯学派是古希腊哲学家毕达哥拉斯及其信徒组成的学派，他们把美学视为自然科学的一个组成部分．美表现在数量比例上的对称与和谐，和谐起于差异的对立，美的本质在于和谐．他们常把数描绘成沙滩上的沙粒或小石子，并由它们排列而成的形状对自然数进行研究．如图所示，图形的点数分别为1，5，12，22，?，总结规律并以此类推下去，第8

14．已知向量a1=(1，1)，bn=(1n，

四、解答题

15．用数学归纳法证明：(n+1)(n+2)?…?(n+n)=2

16．已知数列{an}的前n项和为Sn，其中

（1）试求：a2，a3的值，并猜想数列{a

（2）用数学归纳法加以证明.

17．已知数列an=(?1)n(2n?1)，S

（1）求S1，S2，S3

（2）根据（1）的计算结果，猜想Sn

18．在数列{an}，{bn}中，a1=b

（1）计算a2，b2，a3，b3，a4，b

（2）用数学归纳法证明（1）中的猜测．

19．数列{an}满足a

（1）证明：0a

（2）若数列{bn}满足bn=an+1

20．设数列{an}满足a

（1）求a2，a3，a4

（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.

21．在数列{an}、{bn}中，a1=2，b1=4，且an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列（n∈N

22．已知数列{an}满足：a1∈

（1）若a1=2，写出集合

（2）若集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数；

（3）求集合M的元素个数的最大值.

答案解析部分

1．【答案】B

2．【答案】B

3．【答案】D

4．【答案】D

5．【答案】D

6．【答案】C

7．【答案】B

8．【答案】B

9．【答案】A,B

10．【答案】A,B,C

11．【答案】1+a+

12．【答案】2

13．【答案】92；336

14．【答案】16；

15．【答案】解：（1）当n=1时，左边=1+1=2，右边=2×1=2．

∴左边=右边，故n=1当时，结论成立；

（2）假设n=k(k≥1)结论成立，即(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)=2

∴(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2)=

=2

∴当n=k+1时，结论成立，

故对任意n∈N

16．【答案】（1）解：因为an=S

所以a2=S

因为a3

所以14a3=

由a1=1

（2）证明：①当n=1时，a1

②假设当n=k时猜想成立，即a

那么，当n=k+1时，由题设an=Snn(2n?1)

所以Sk=k(2k?1)a

则ak+1

因此，k(2k+3)a

所以ak+1

这就证明了当n=k+1时命题成立.

由①②可知：命题对任何n∈N

17．【答案】（1）解：因为S1=a

所以S2

因为a3=?5，所以

因为a4=7，所以

所以S1=?1，S2=2，

（2）证明：猜想：Sn

证明：①当n=1时，左边=?1，右边=?1，等式成立.

②假设当n=k(k∈N

即?1+3?5+?+(?1)

则当n=k+1时，

左边=?1+3?5+?+

=

=(?1)