2024年空间几何体知识点.doc

空间几何体

多面体

棱柱

棱柱的定义：有两個面互相平行，其他各面都是四边形，并且每两個四边形的公共边都互相平行，這些面围成的几何体叫做棱柱。

棱柱的性质

（1）侧棱都相等，侧面是平行四边形

（2）两個底面与平行于底面的截面是全等的多边形

（3）過不相邻的两条侧棱的截面（對角面）是平行四边形

棱锥

棱锥的定义：有一种面是多边形，其他各面都是有一种公共顶點的三角形，這些面围成的几何体叫做棱锥

棱锥的性质：

（1）侧棱交于一點。侧面都是三角形

（2）平行于底面的截面与底面是相似的多边形。且其面积比等于截得的棱锥的高与遠棱锥高的比的平方

正棱锥

正棱锥的定义：假如一种棱锥底面是正多边形，并且顶點在底面内的射影是底面的中心，這样的棱锥叫做正棱锥。

正棱锥的性质：

（1）各侧棱交于一點且相等，各侧面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高。

（3）多种特殊的直角三角形

esp：

a、相邻两侧棱互相垂直的正三棱锥，由三垂线定理可得顶點在底面的射影為底面三角形的垂心。

b、四面体中有三對异面直线，若有两對互相垂直，则可得第三對也互相垂直。且顶點在底面的射影為底面三角形的垂心。

基本概念

公理1：假如一条直线上的两點在一种平面内，那么這条直线上的所有的點都在這個平面内。

公理2：假如两個平面有一种公共點，那么它們有且只有一条通過這個點的公共直线。

公理3：過不在同一条直线上的三個點，有且只有一种平面。

推论1:通過一条直线和這条直线外一點，有且只有一种平面。

推论2：通過两条相交直线，有且只有一种平面。

推论3：通過两条平行直线，有且只有一种平面。

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

等角定理：假如一种角的两边和另一种角的两边分别平行并且方向相似，那么這两個角相等。

空间两直线的位置关系：

空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面

1、按与否共面可分為两类：

（1）共面：平行、相交

（2）异面：

异面直线的定义：不一样在任何一种平面内的两条直线或既不平行也不相交。

异面直线鉴定定理：用平面内一點与平面外一點的直线，与平面内不通過该點的直线是异面直线。

两异面直线所成的角：范围為(0°，90°)esp.空间向量法

两异面直线间距离:公垂线段(有且只有一条)esp.空间向量法

2、若從有無公共點的角度看可分為两类：

（1）有且仅有一种公共點——相交直线；（2）没有公共點——平行或异面

直线和平面的位置关系：

直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行

①直线在平面内——有無数個公共點

②直线和平面相交——有且只有一种公共點

直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在這個平面内的射影所成的锐角。

esp.空间向量法(找平面的法向量)

规定：a、直线与平面垂直時，所成的角為直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角為0°角

由此得直线和平面所成角的取值范围為[0°，90°]

最小角定理:斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角

三垂线定理及逆定理:假如平面内的一条直线,与這個平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与這条斜线垂直

esp.直线和平面垂直

直线和平面垂直的定义：假如一条直线a和一种平面内的任意一条直线都垂直，我們就說直线a和平面互相垂直.直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。

直线与平面垂直的鉴定定理：假如一条直线和一种平面内的两条相交直线都垂直，那么這条直线垂直于這個平面。

直线与平面垂直的性质定理：假如两条直线同垂直于一种平面，那么這两条直线平行。

③直线和平面平行——没有公共點

直线和平面平行的定义：假如一条直线和一种平面没有公共點，那么我們就說這条直线和這個平面平行。

直线和平面平行的鉴定定理：假如平面外一条直线和這個平面内的一条直线平行，那么這条直线和這個平面平行。

直线和平面平行的性质定理：假如一条直线和一种平面平行，通過這条直线的平面和這個平面相交，那么這条直线和交线平行。

两個平面的位置关系：

（1）两個平面互相平行的定义：空间两平面没有公共點

（2）两個平面的位置关系：

两個平面平行-----没有公共點；两個平面相交-----有一条公共直线。

a、平行

两個平面平行的鉴定定理：假如一种平面内有两条相交直线都平行于另一种平面，那么這两個平面平行。

两個平面平行的性质定理：假如两個平行平面同步和第三個平面相交，那么交线平行。

b、相交

二面角

（1）半平面：平面内的一条直线把這個平面提成两個部分，其中每一种部分叫做半平面。

（2）二面角：從一条直线出发的两個半平面