考点20 椭圆 2023年新高考数学一轮复习讲与练（原卷版）.docxVIP

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考点20椭圆（核心考点讲与练）

考点考向

1.椭圆的定义

平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹（或集合）叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.

其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：

(1)若a＞c，则集合P为椭圆；

(2)若a＝c，则集合P为线段；

(3)若a＜c，则集合P为空集.

2.椭圆的标准方程和几何性质

标准方程

eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)

eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(ab0)

图形

性质范围

－a≤x≤a

－b≤y≤b

－b≤x≤b

－a≤y≤a

对称性

对称轴：坐标轴；对称中心：原点

顶点

A1(－a，0)，A2(a，0)，

B1(0，－b)，B2(0，b)

A1(0，－a)，A2(0，a)，

B1(－b，0)，B2(b，0)

轴

长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b

焦距

|F1F2|＝2c

离心率

e＝eq\f(c,a)∈(0，1)

a，b，c的关系

c2＝a2－b2

方法技巧

1.椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解、掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F1F2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况.

2.求椭圆的标准方程，常采用“先定位，后定量”的方法(待定系数法).先“定位”，就是先确定椭圆和坐标系的相对位置，以椭圆的中心为原点的前提下，看焦点在哪条坐标轴上，确定标准方程的形式；再“定量”，就是根据已知条件，通过解方程(组)等手段，确定a2，b2的值，代入所设的方程，即可求出椭圆的标准方程.若不能确定焦点的位置，这时的标准方程常可设为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)

3.解决中点弦、弦长及最值与范围问题一般利用“设而不求”的思想，通过根与系数的关系构建方程求解参数、计算弦长、表达函数.

4.求椭圆离心率的3种方法

(1)直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．

(2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．

(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．

考点练

考向一椭圆的定义

一、单选题

1．（2022·内蒙古通辽·二模（理））椭圆的左?右焦点分别为，，为椭圆上一点，若的周长为，则椭圆的离心率为（???????）

A． B． C． D．

2．（2022·天津市第四十七中学模拟预测）已知分别是椭圆和双曲线的公共的左右焦点，是的离心率，若在第一象限内的交点为，且满足，则的关系是（???????）

A． B． C． D．

3.（2021广东省深圳市高级中学等九校联考）已知椭圆的左、右焦点分别是、，离心率为，点A是椭圆上位于x轴上方的一点，且，则直线的斜率为（）

A．B．C．D．1

二、多选题

4．（2022·山东淄博·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，，左右顶点分别为，．P是椭圆上异于，的点，则下列说法正确的是（???????）

A．周长为4 B．面积的最大值为

C．的最小值为 D．若面积为2，则点P横坐标为

5．（2022·山东济宁·二模）设椭圆C：的左?右焦点分别为?，上?下顶点分别为?，点P是C上异于?的一点，则下列结论正确的是（???????）

A．若C的离心率为，则直线与的斜率之积为

B．若，则的面积为

C．若C上存在四个点P使得，则C的离心率的范围是

D．若恒成立，则C的离心率的范围是

三、填空题

6．（2022·宁夏·银川一中二模（文））已知椭圆C：的左焦点为，为椭圆C上任意一点，则的最小值为______．

四、解答题

7．（2022·江西景德镇·三模（文））是椭圆的右焦点，其中.点、分别为椭圆的左、右顶点，圆过点与坐标原点，是椭圆上异于、的动点，且的周长小于.

(1)求的标准方程；

(2)连接与圆交于点，若与交于点，求的取值范围.

考向二椭圆的标准方程

一、单选题

1．（2022·全国·模拟预测（文））已知椭圆C：的右焦点为，右顶点为A，O为坐标原点，过OA的中点且与坐标轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点，若四边形OMAN是正方形，则C的方程为（???????）

A． B． C． D．

2.（2021福建省莆田市第十五中学二模）阿基米德(公元前年—公元前年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“通近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与